QQ 数——莫比乌斯函数

Posted 2021-02-14 chmwt

QQ 数（number.pas/c/cpp）
【问题描述】
企鹅国数学家 `QQ` 潜心研究数论，终于发现了一个简单的数论问题！
一个 `QQ` 数定义为一个拥有一个大于 $ 1 $ 的完全平方数为因子的数字，一个数字的 `QQ` 值定义为这个数是 `QQ` 数的因数个数。
现在 `QQ` 想知道在 $[L,R]$ 范围内，每个整数的 `QQ` 值之和是多少？
你只需要告诉他这个数字，他就可以给你宝贵的 $ 10 $ 分作为一个奖励！
【输入格式】
第一行两个整数 $ L, R $ 代表要求的数字范围；
【输出格式】
输出一个整数表示 `L~R` 里每个数字的 $ QQ $ 值之和。
【输入样例】
1 10
【输出样例】
4
【样例说明】
4 的 `QQ` 值为 1，8 的 `QQ` 值为 2，9 的 `QQ` 值为 1。
【数据范围】
对于 $ 10\% $ 的数据，$ Rleq 10^4 $；
对于另外 $ 30\% $ 的数据，$ Rleq 10^6 $；
对于另外 $ 10\% $的数据，$ R leq 10^7 $；
对于 $ 100\% $的数据，$ 1 leq Lleq R leq 10^9 $；
【题解】
因为 $ mu(i) $ 含有平方因子的值为0，于是可以巧妙利用这个性质
记 $ [1,n] $ 的值为 $ sum_{i=1}^{n} sum_{d|i}[1-mu(d)] =sum_{d=1}^n[1-mu(d)^2] lfloor frac{n}{d} floor =sum_{d=1}^n lfloor frac{n}{d} floor - sum_{d=1}^n lfloor frac{n}{d} floor mu(d)^2 $
然后可以发现前面的 $ sum_{d=1}^n lfloor frac{n}{d} floor $ 可以分块，但后面的 $ sum_{d=1}^n lfloor frac{n}{d} floor mu(d)^2 n leq 10^9 $，没有办法预处理
考虑 $ sum_{d=1}^n lfloor frac{n}{d} floor mu(d)^2 $ 的几何意义
$ sum_{d=1}^n lfloor frac{n}{d} floor mu(d)^2 = n- lfloor frac{n}{2} floor - lfloor frac{n}{3} floor -lfloor frac{n}{5} floor + lfloor frac{n}{6} floor +... $
可以发现当 $ i> sqrt{n} $ 时 $ lfloor frac{n}{i} floor = 0$
所以只要枚举到 $ sqrt{n} $ 时即可（其实还是可以分块优化的）
然后就可以在 $ O(sqrt{n}) $ 完成

再附一种做法：
$ -sum_{i=2}^{sqrt{n}}mu(i)sum_{j=1}^{lfloor frac{n}{i^2 j} floor} lfloor frac{n}{i^2 j} floor $ 直接分块即可

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define LL long long
 3 #define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
 4 using namespace std;
 5 int R(){
 6     int x;bool f=1;char ch;_(!)if(ch==‘-‘)f=0;x=ch^48;
 7     _()x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);return f?x:-x;}
 8 const int N=1e7+5;
 9 int p[N],vis[N],mu[N],l,r,tot;
10 LL make(int n){
11     LL ans=0;
12     for(int i=1;i*i<=n;i++)
13         ans+=mu[i]*(n/(i*i));
14     return ans;
15 }
16 LL work(int n){
17     LL ans=0,res=0;
18     for(int i=1,l;i<=n;i=l+1)
19         l=n/(n/i),ans+=(n/i)*(l-i+1);
20     for(int i=1,l;i<=n;i=l+1)
21         l=n/(n/i),res+=(n/i)*(make(l)-make(i-1));
22     return ans-res;
23 }
24 int main(){
25     mu[1]=1;
26     for(int i=2;i<N;i++){
27         if(!vis[i])p[++tot]=i,mu[i]=-1;
28         for(int j=1;j<=tot&&p[j]*i<N;j++){
29             vis[i*p[j]]=1;
30             if(i%p[j]==0)break;
31             mu[i*p[j]]=-mu[i];
32         }
33     }
34     l=R(),r=R();
35     printf("%lld
",work(r)-work(l-1));
36     return 0;
37 }

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