莫比乌斯函数总结

Posted 2022-05-06 heyuhhh

莫比乌斯函数总结

性质：\(\sum_d|n\mu(d)=[n==1]\)
这个可以用组合数的性质来证，形象点的话就是杨辉三角。
因为恒等式：\(\sum_i=0^n(-1)^nC_n^i=0\).

莫比乌斯反演：
形式一:
已知：\(g(n)=\sum_d|nf(d)\)，则有：\(f(n)=\sum_d|n\mu(d)g(\fracnd)\).
证明如下：
\[ \sum_d|n\mu(d)g(\fracnd)=\sum_d|n\mu(d)\sum_k|\fracndf(k) \]
交换求和次序，有：
\[ \sum_d|n\mu(d)\sum_k|\fracndf(k)=\sum_k|nf(k)\sum_d|\fracnk\mu(d)=\sum_k|nf(k)[\fracnk=1]=f(n) \]
故得证.
形式二:
已知：\(g(n)=\sum_n|df(d)\)，则有：\(f(n)=\sum_n|d\mu(\fracdn)g(d)\).
证明如下：
令\(k=\fracdn\),则有：
\[\sum_n|d\mu(\fracdn)g(d)=\sum_k=1^\infty\mu(k)g(nk)=\sum_k=1^\infty\mu(k)\sum_nk|tf(t)\]
交换求和次序，有：
\[ \sum_k=1^\infty\mu(k)\sum_nk|tf(t)=\sum_n|tf(t)\sum_k|\fractn\mu(k)=\sum_n|tf(t)[\fractn=1]=f(n) \]
故得证.

常用技巧（应用）：
一个性质：
\[ \lfloor\frac\lfloor\fracxa\rfloorb\rfloor=\lfloor\fracxab\rfloor \]
证明如下：
令\(y=\lfloor\fracxa\rfloor,z=\lfloor\fracxab\rfloor\),显然有：\(x=zab+c,c\leq ab\).
等式两边同时除以\(a\)并向下取整有：\(y=zb+\lfloor\fracca\rfloor\).
再同时除以\(b\)并向下取整：\(\lfloor\frac\lfloor\fracxa\rfloorb\rfloor=z+\lfloor\frac\lfloor\fracca\rfloorb\rfloor\).
之后就比较显然了。

例一：
求：\(\sum_i=1^n\sum_j=1^m[gcd(i,j)=1]\).
\[ \sum_i=1^n\sum_j=1^m[gcd(i,j)=1]=\sum_i=1^n\sum_j=1^m\sum_d|gcd(i,j)\mu(d)=\sum_i=1^n\sum_j=1^m\sum_d|i,d|j\mu(d) \]
说明一下：从第一步到第二步多出来一个和式，就相当于一个容斥的过程，考虑所有的\((i,j)\)，对于他们的\(gcd\)来进行容斥：先加上所有的情况，然后减去\(gcd\)为\(2,3,5...\)倍数的情况，但会多减，所以加回来。
之后再进行变换得：
\[ \sum_d\mu(d)\sum_i=1^n\sum_d|i\sum_j=1^m\sum_d|j1=\sum_d\mu(d)\lfloor\fracnd\rfloor\lfloor\fracmd\rfloor \]
后面的部分直接整除分块，然后预处理\(\mu\)的前缀和就行了。

例二：
求：\(\sum_i=1^n\sum_j=1^mgcd(i,j)\)

这个和第一个比较类似，我们变化一下就有：
\[ \sumd\sum_i=1^n\sum_j=1^m[gcd(i,j)=d]=\sumd\sum_i=1^\fracnd\sum_j=1^\fracmd[gcd(i,j)=1] \]
根据例一得：
\[ \sumd\sum_i=1^\fracnd\sum_j=1^\fracmd[gcd(i,j)=1]=\sumd\sum_t\mu(t)\lfloor\fracndt\rfloor\lfloor\fracmdt\rfloor \]
令\(T=dt\)，则上式可化为：
\[ =\sum\fracTt\sum_t\mu(\fracTd)\lfloor\fracnT\rfloor\lfloor\fracmT\rfloor=\sum_T\lfloor\fracnT\rfloor\lfloor\fracmT\rfloor\sum_t|T\mu(t)\fracTt=\sum_T\lfloor\fracnT\rfloor\lfloor\fracmT\rfloor\varphi(T) \]

说说为什么最后转化为了欧拉函数：
欧拉函数有个十分有用的性质：\(\sum_d|n\varphi(d)=n\)，证明的话主要从\(f(n)=\sum_d|n\varphi(d)\)这个函数为积性函数入手。同时还有一个性质也比较有用：\(\varphi(p^m)=p^m-p^m-1\)。
有了这个式子反演一下就有：
\[ \varphi(n)=\sum_d|n\mu(d)\fracnd \]
对于例二，整除分块+预处理欧拉函数就行了。

相关例题：
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