莫比乌斯反演欧拉函数杜教筛大总结
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了莫比乌斯反演欧拉函数杜教筛大总结相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
莫比乌斯函数
定义
设(n=prod_{i=1}^{k} p_i^{c_i}),则(mu(n)=(-1)^k),特别地(mu(1)=1)。
性质
最常用性质
(sum_{d|n}mu(d)=[n=1])
反演性质
(F(n)=sum_{d|n}f(d) Longleftrightarrow f(n)=sum_{d|n}F(d)mu(frac{n}{d}))
(F(n)=sum_{n|d}f(d) Longleftrightarrow f(n)=sum_{n|d}F(d)mu(frac{d}{n}))
常用性质
(sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)=1]=sum_{d=1}^{n}mu(d)lfloorfrac{n}{d} floor lfloorfrac{n}{d} floor)
欧拉函数
定义
设(n=prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i}),有(phi(n)=nprod_{i=1}^{k}frac{p_i-1}{p_i})。
性质
最常用性质
(sum_{d|n}phi(d)=n)
零零散散的一些性质(没收集完)
(phi(ab)=frac{phi(a)phi(b)gcd(a,b)}{phi(gcd(a,b))})
与莫比乌斯函数的联系
$frac{phi(n)}{n}=sum_{d|n}frac{mu(d)}{d} Longleftrightarrow phi(n)=sum_{d|n}mu(d)frac{n}{d}=sum_{d|n}mu(frac{n}{d})d $
杜教筛
思路
狄利克雷卷积
两函数(f,g)的狄利克雷卷积((f*g))定义如下:
((f*g)(i)=sum_{d|i}f(d)g(frac{i}{d}))
函数前缀和
令(S(n)=sum_{i=1}^{n}f(i))
(sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\=sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}g(d)f(frac{i}{d})\=sum_{d=1}^{n}g(d)sum_{i=1}^{lfloor frac{n}{d} floor }f(i)\=sum_{d=1}^{n}g(d)S(lfloor frac{n}{d} floor ))
移项得:
(g(1)S(n)=sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-sum_{d=2}^{n}g(d)S(lfloor frac{n}{d} floor ))
于是可以递归求解。
莫比乌斯函数前缀和
令(f(i)=mu(i),g(i)=1),有:
(sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\=sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}g(d)f(frac{i}{d})\=sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}mu(frac{i}{d})\=sum_{i=1}^{n}[i=1]\=1)
所以(S(n)=1-sum_{d=2}^{n}g(d)S(lfloor frac{n}{d} floor ))
欧拉函数前缀和
令(f(i)=phi(i),g(i)=1),有:
(sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\=sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}g(d)f(frac{i}{d})\=sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}phi(frac{i}{d})\=sum_{i=1}^{n}i\=frac{n(n+1)}{2})
所以(S(n)=frac{n(n+1)}{2}-sum_{d=2}^{n}g(d)S(lfloor frac{n}{d} floor ))
其他一些函数的前缀和
若(f(i)=mu(i)*i),则(g(i)=i)。
(sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\=sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}g(d)f(frac{i}{d})\=sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}d*frac{i}{d}*mu(frac{i}{d})\=sum_{i=1}^{n}isum_{d|i}mu(frac{i}{d})\=sum_{i=1}^{n}[i=1]\=1)
所以(S(n)=1 - sum_{d=2}^{n}g(d)S(lfloor frac{n}{d} floor ))
留个大坑先。。。。。
以上是关于莫比乌斯反演欧拉函数杜教筛大总结的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
51nod-1239&1244欧拉函数之和&莫比乌斯函数之和 杜教筛
bzoj 4916: 神犇和蒟蒻欧拉函数+莫比乌斯函数+杜教筛