莫比乌斯函数的莫比乌斯函数的定义

Posted 2023-04-30

参考技术A

莫比乌斯函数(En:Möbius function De:Möbiusfunktion)是指以下的函数：
<math>\\mu (n) = </math>
1，假若n=1
<math>(-1)^k</math>假若n为无平方数因数的数，且<math>n = p_1 p_2 ...... p_k</math>
0，其他状况
莫比乌斯函数是一个数论函数，它是一个积性函数
另一方面，<math>\\sum_d|n \\mu (d) =</math>
1，当n=1时
0，其他状况
莫比乌斯函数完整定义的通俗表达：
1）莫比乌斯函数μ(n)的定义域是N
2）μ(1)=1
3）当n存在平方因子时，μ(n)=0
4）当n是素数或奇数个不同素数之积时，μ(n)=-1
5）当n是偶数个不同素数之积时，μ(n)=1

数论莫比乌斯函数

莫比乌斯函数

    莫比乌斯函数！？提到这个东西你会不会想到一个大神级的玩意：莫比乌斯反演

      莫比乌斯函数其实很简单，非常非常简单……

好了，步入正题吧……

       我们定义一个函数M，参数为x，函数内容如下：

       X=X1^P1*X2^P2*……*Xa^Xk

       那么这个式子到底是用来干什么的呢？

       我们使X1、X2、X3都存在一个素数集合中，那么它们必定都是素数

       则P1、P2、P3……为指数，因为对于任何数x(x>=2)，都可以写成这种形式。

       比如我们举几个例子：

       12=3*4

       12=3*2*2

       12=2^2*3^1

        

       2=2

       2=2^1

       好，理解了这个我们设定P这个数组中间均>=1（小于1就没有意义了）

       我们先把这个x按如上方式分解

       我们设定，如果这里面的最大指数大于1了，那么我们的M(x)=0;

       如果最大指数等于1，则所有的指数都是1，从而M（x）=（-1）^k

       注意：M(1)=1!

       根据如上结论，M(x)=-1(x为素数)

                            M(x^n)=0(x为素数，n为大于1任意值)

        不难看出如上结论是正确的。

        因为如果x是一个素数的话，那么X1直接等于x，则P1直接为1，最终答案(-1)^1：-1

        如果这是一个素数的次方，那么那么X1直接等于x，p1赋值为n，如上n大于1，根据原理答案为0

        

那，它到底是干神马用的呢？

        我们发现，M(1)=1,M(2)=-1,M(3)=-1,M(5)=-1,M(6)=1,M(10)=1。

        有没有发现，能写成两个素数相乘的答案都是1

                          能写成三个素数相乘的答案都是-1

                                           ……

        于是我们只需要将它反过来，就可以求解容斥原理啦！

        还有求逆元的一些各种用途，有兴趣的同学可以看看。