数论: 莫比乌斯反演 莫比乌斯函数
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莫比乌斯反演 ( 一 ): 莫比乌斯函数
这是一个积性函数, 目前没有具体意义, 是一个工具函数, 用μ(x)表示.
定义域:正整数(N)
定义:
[ μ(x)=left{ egin{aligned} 1 (x=1) \ 0 ((x>1) && (x有完全平方因数(除1以外))) \ (-1)^{x的质因数数量} (其他情况) end{aligned} ight. ]
性质:
μ(xy)=μ(x)μ(y) 积性函数特性
μ(1)=1 可以由上一个性质推出
求莫比乌斯函数:
欧拉筛: 积性函数通法
只要将边界修改一下, 就能线性求出任何定义域为N的积性函数.
bool prm[n];//存一个数是否是质数
int pri[n];//存质数
int Mu[n];//μ函数
inline void Prime(LL n){
Mu[1]=1;//μ(1)为1
for(register int i=2;i<=n;i++){//从2开始筛
if(!prm[i]) {//筛完后落下的就是质数
pri[ ++pri[ 0 ] ]=i;//将质数记录在pri里, pri[0]存当前质数数量属于计数器
Mu[i]=-1;//质数只有一个质因数, (-1)^1=-1
}
for(register int j = 1; ( j <= pri [ 0 ] ) && ( i * pri [ j ] <= n ); j++) {//当前数和已知所有质数都相乘, 则积是合数.
prm[ i * pri[ j ] ] = 1;//筛掉i * pri[j]
if( i % pri[ j ] == 0 ) {
break;//只要整除, 那么(i*pri[j])一定有完全平方因数(pri[j]^2)(i里一个,pri[j]本身一个),这是μ(i*pri[j])=0
}
Mu[ i * pri[ j ] ] = -(Mu[ i ]);//不整除, (i*pri[j])在i的基础上多了一个质因数(pri[j])
}
}
}
关于register前缀:
常在循环语句中使用, 优化多次重复调用同一个变量. 将之前多次在内存中调用转化为直接在cache里面调用, 节省时间.
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