数论卷积公式and莫比乌斯反演

Posted 2021-02-16 lcez56jsy

数论卷积：

对于两个数论函数f(x),g(x)

f(n)g(n)=∑ f(d)g(n/d)

             d|n

 

莫比乌斯函数：

设一个数n=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*..........*(pn^kn)

             /  1,n=1

则μ(n)=    0,max(k1,...kn)=1

                -1^r  ,max(k1......kn)=r,r>1

莫比乌斯函数有个性质：

 ∑ μ(d)在n为1时为1，其余时为0

d|n

例题：给定a,b,c,d,在a≤x≤c,b≤y≤d中，求满足gcd(x,y)=1的(x,y)

 

这样，我们就可以把要求的x,y视为一个二维前缀和，即：

[1≤x≤c,1≤y≤d]-[1≤x≤a,1≤y≤d]-[1≤x≤c,1≤y≤b]+[1≤x≤a,1≤y≤b](就是上图红色部分的面积=总面积-a*d的矩形-c*b的矩形+a*b的矩形）

那么每一部分就可以表示为求起点为1，x的终点为n,y的终点为m的式子

如下：

  n  m

∑ ∑ [gcd(i,j)]=1

i=1 j=1

这里中括号的意思是：若括号内为真，返回1，若为假，返回0

∑计算有一下几种性质：

1.交换两个∑，结果不变

2.将某个∑后面与当前∑枚举的东西无关的式子提到该∑前面来，结果不变

显然枚举原式可以枚举到地老天荒（显然我们要化简）

联系一下前面莫比乌斯函数的性质：

 ∑ μ(d)在n为1时为1，其余时为0

d|n

不难发现，原式可以写成这样：

 

显然这里确定i,j枚举d不好枚举，那我们换过来，确定d枚举i，j

  n    

∑      ∑       ∑   μ（d）

d=1       ad=i,        bd=j,

             i<=n          j<=m

这时候，μ（d）与前两个∑没有关系，那就把它提到前面来

 n    

∑   μ（d）   ∑       ∑   

d=1                 ad=i,      bd=j,

                       i<=n        j<=m

后面两个∑可视为枚举1到n和1到m中d的倍数。1到n中d的倍数有  个，1到m中d的倍数有 个

一个式子解决了。

剩下的就是将二维前缀和中的式子往里带了

 嗯虽然不知道自己写了些什么，但先记下来以后慢慢看