数论卷积公式and莫比乌斯反演

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数论卷积公式and莫比乌斯反演相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

数论卷积:

对于两个数论函数f(x),g(x)

f(n)g(n)= f(d)g(n/d)

             d|n

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莫比乌斯函数:

设一个数n=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*..........*(pn^kn)

             /  1,n=1

则μ(n)=    0,max(k1,...kn)=1

                -1^r  ,max(k1......kn)=r,r>1

莫比乌斯函数有个性质:

 ∑ μ(d)在n为1时为1,其余时为0

d|n

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例题:给定a,b,c,d,在a≤x≤c,b≤y≤d中,求满足gcd(x,y)=1的(x,y)

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这样,我们就可以把要求的x,y视为一个二维前缀和,即:

[1≤x≤c,1≤y≤d]-[1≤x≤a,1≤y≤d]-[1≤x≤c,1≤y≤b]+[1≤x≤a,1≤y≤b](就是上图红色部分的面积=总面积-a*d的矩形-c*b的矩形+a*b的矩形)

那么每一部分就可以表示为求起点为1,x的终点为n,y的终点为m的式子

如下:

  n  m

∑ ∑ [gcd(i,j)]=1

i=1 j=1

这里中括号的意思是:若括号内为真,返回1,若为假,返回0

∑计算有一下几种性质:

1.交换两个∑,结果不变

2.将某个∑后面与当前∑枚举的东西无关的式子提到该∑前面来,结果不变

显然枚举原式可以枚举到地老天荒(显然我们要化简)

联系一下前面莫比乌斯函数的性质:

 ∑ μ(d)在n为1时为1,其余时为0

d|n

不难发现,原式可以写成这样:

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显然这里确定i,j枚举d不好枚举,那我们换过来,确定d枚举i,j

  n    

∑      ∑       ∑   μ(d)

d=1       ad=i,        bd=j,

             i<=n          j<=m

这时候,μ(d)与前两个∑没有关系,那就把它提到前面来

 n    

∑   μ(d)   ∑       ∑   

d=1                 ad=i,      bd=j,

                       i<=n        j<=m

后面两个∑可视为枚举1到n和1到m中d的倍数。1到n中d的倍数有 技术图片 个,1到m中d的倍数有技术图片 个

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一个式子解决了。

剩下的就是将二维前缀和中的式子往里带了

 嗯虽然不知道自己写了些什么,但先记下来以后慢慢看

以上是关于数论卷积公式and莫比乌斯反演的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

狄利克雷卷积及莫比乌斯反演

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