狄利克雷卷积 && 莫比乌斯反演

Posted 2022-11-21 bhllx

狄利克雷卷积 && 莫比乌斯反演

　狄利克雷卷积

数论函数及其运算

数论函数是指定义域是正整数，值域是一个数集的函数。

加法，逐项相加，即\((f+h)(n)=f(n)+h(n)?\)；

数乘，这个数和每一项都相乘，即 \((xf)(n)=x·f(n)?\)

狄利克雷卷积

定义两个数论函数的狄利克雷卷积 \(*:?\)

若\(t=f*g?\)，则\(t(n)=\sum_d|n^f(d)·g(\fracnd)?\)，又或者写成\(t(n)=\sum_ij=nf(i)\cdot g(j)?\)。

卷积性质

1. 交换律：\(f*g=g*f\)
2. 结合律： \((f*g)*h=f*(g*h)\)
3. 分配律：\((f+g)*h=f*h+g*h\)
4. 单位元：\(\epsilon*f=f?\),其中\(\epsilon=[n=1]?\)
5. 逆 元： 对于每个\(f(1)\not=0\)的\(f\)，都存在一个\(g\)，使得\(f*g=\epsilon\)，\(g\)为\(f\)的逆。

积性函数

定义不再重复。

常见的积性函数：

1.\(\phi(n)=n\prod_i=1^k\fracp_i-1p_i\)

2.\(id^k(n)=n^k?\),特别的记\(I(n)=id^0(n)=1,\ \ id(n)=id^1(n)=n?\)

3.\(\epsilon(n)=[n=1]?\)

4.\(\mu(n)=\cases0,n存在两个或以上相同质因子\\ (-1)^k,n不存在两个或以上相同质因子，k为质因子个数?\)

积性函数性质

1.积性函数的狄利克雷卷积还是积性函数。

2.积性函数的逆还是积性函数。

由积性函数的性质可知，通过计算出它在质因子幂处的取值，就可以得到它本身的值。

例如：\(\phi(n)=\prod_i=1^cnt\phi(p_i^c_i)?\)

另外，容易发现\((\phi\ *\ I)(p^k)=p^k?\)，由性质1可得\(\phi*I=id?\)。

莫比乌斯反演

运用上述知识，从卷积的角度来认识莫比乌斯反演。

首先重新认识一下\(\mu?\)，定义\(\mu?\)为\(I?\)的逆。

由于\(I\)是积性的，而\(\mu\)是\(I\)的逆，所以\(\mu?\)也是积性的。

利用\(I*\mu=\epsilon?\)，可以得出：
\[ \mu(p^k)=\cases1\ \ \ \ \ k=0\\-1\ \ k=1\\0\ \ \ \ \ k>1 \]
再利用积性函数的性质1，可以得到上面写到的\(\mu?\)函数。

这个时候，我们顺便发现了一个\(\phi?\)与\(\mu?\)的关系：
\[ \phi=id*I^-1=id*\mu\\phi(n)=\sum_d\mid nd\cdot\mu(\fracnd) \]

进入正题。

如果数论函数\(f,g\)满足:
\[ f(n)=\sum_d|ng(n)\\]
那么，
\[ g(n)=\sum_d|n\mu(d)\cdot f(\fracnd) \]

证明：直接写成卷积形式即可。

同时存在另外一种形式的莫比乌斯反演：
\[ f(n)=\sum_n|Xg(X)\g(n)=\sum_n|X\mu(\fracXn)\cdot f(X) \]

证明：

定义新运算\((f\odot g)(n)=\sum_n|Xf(\fracXn)\cdot g(X)\)

下面先证明：\((f*g)\odot h=f\odot (g\odot h)?\)
\[ (f\odot (g\odot h))(n)=\sum_n|Xf(\fracXn)\sum_X|Pg(\fracPX)h(P)\=\sum_n|X\sum_X|Pf(\fracXn)g(\fracPX)h(P)\=\sum_n|P(f*g)(\fracPn)h(P)\=((f*g)\odot h)(n) \]
所以就有
\[ g=(\mu*I)\odot g=\mu\odot(I\odot g)=\mu\odot f \]

应当注意的是：
\[ \sum_n|X\mu(\fracXn)\cdot f(X)\not=\sum_n|X\mu(X)\cdot f(\fracXn) \]