从基础数论函数说起3：莫比乌斯反演
Posted chy-2003
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了从基础数论函数说起3：莫比乌斯反演相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
前置条件
分析
在从基础数论函数说起1：整除分块、数论函数、狄利克雷卷积的最后，提到了 (e=mu * 1) 。
也就是说，在狄利克雷卷积意义下， (mu) 和 (1) 互为逆元。
那么如果要求 (f(n)) ，而 (g(n)=sumlimits_{d|n}f(d)) 其中的 (g(n)) 能够非常方便地求出。可以看做 (g=f*1) 。两边同乘 (mu) ，得到 (f=mu * g) 。即
[ g(n)=sumlimits_{d|n}f(d),,Rightarrow,, f(n)=sumlimits_{d|n}mu(frac{n}{d}) g(d) ]
这被称为 因数反演 。
同样的，还有 倍数反演 。
[ g(n)=sumlimits_{n|d} f(d) ,,Rightarrow,, f(n)=sumlimits_{n|d} mu(frac{d}{n})g(d) ]
感觉不是很会正向推导。那就只能暴力证明一波了：
[ sumlimits_{n|d}muleft(frac{n}{d} ight)g(d)=sumlimits_{k}mu(k)g(nk)=sumlimits_{k}mu(k)left(sumlimits_{nk|t}f(t) ight)=sumlimits_{t}f(t)left(sumlimits_{nk|t}mu(k) ight)=sumlimits_{t}f(t)eleft(frac{t}{n} ight)=f(n) ]
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