数论莫比乌斯反演

Posted 2021-06-01 HinanawiTenshi

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莫比乌斯函数
莫比乌斯反演

莫比乌斯函数

首先，我们先介绍一下莫比乌斯函数 \\(\\mu(x)\\)

设 \\(x\\) 质因数分解式为：\\(x = \\prod_{i=1}^k p_i^{\\alpha_i}\\)

\\[\\mu(x)= \\begin{cases} 0& \\exists \\alpha_i \\geqslant 2 \\\\ (-1)^k& \\forall \\alpha_i = 1 \\end{cases}\\]

记 \\(s(n) = \\sum_{d|n}\\mu(d)\\) ，我们有：

\\[s(n) = \\begin{cases} 1& n=1\\\\ 0& n>1 \\end{cases}\\]

证明：
\\(n=1\\) 时结论平凡。
下考虑 \\(n>1\\) 的情况，设 \\(d\\) 的质因数分解式 \\(d = \\prod_{i=1}^k p_i^{\\alpha_i}\\) 。
当 \\(\\alpha_i > 1\\) 时，由莫比乌斯函数性质可知 \\(d=0\\) 。
而当 \\(\\alpha_i = 1\\) 时，必然能够从 \\(n\\) 的因数中找到对应的 \\(d\'\\) 使得 \\(d\'\\) 分解式中与 \\(d\\) 的唯一区别为 \\(\\alpha_i = 0\\) ，那么由莫比乌斯函数性质可知它们的贡献和为 \\(0\\) ，因此 \\(s(n) = 0\\) 。

莫比乌斯反演

先给出结论：

• 结论 1：若 \\(F(n) = \\sum_{d|n}f(d)\\) ，则 \\(f(n) = \\sum_{d|n}\\mu(d)F(\\frac{n}{d})\\)

• 结论 2：若 \\(F(n) = \\sum_{n|d}f(d)\\) ，则 \\(f(n) = \\sum_{n|d}\\mu(\\frac{d}{n})F(d)\\)

结论 1 证明：
\\(\\sum_{d|n}\\mu(d)F(\\frac{n}{d}) \\\\= \\sum_{d|n}\\mu(d)\\sum_{i|\\frac{ n}{d}}f(i) \\\\ = \\sum_{i|n}f(i)\\sum_{d|\\frac{n}{i}}\\mu(d) \\\\=f(n)\\)

结论 2 证明：
\\(\\sum_{n|d}\\mu(\\frac{d}{n})F(d)\\\\= \\sum_{n|d}\\mu(\\frac{d}{n})\\sum_{d|i}f(i)\\\\\\stackrel{d\'=\\frac{d}{n}}{=} \\sum_{n|i}f(i)\\sum_{d\'|\\frac{i}{n}}\\mu(d\') \\\\=f(n)\\)

结论 2 用得比较多。