莫比乌斯反演
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了莫比乌斯反演相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
简述
从某种意义上来说，莫比乌斯反演可以看作是在数论函数上的容斥。当然，它有多种形式，要视具体情况分析。
前置知识
取整函数的性质
常见的数论函数
关于取值个数的问题（对于后面讨论时间复杂度有所帮助）
[forall nin N_+,|{lfloor frac{n}{d}
floor|din N_+}|le 2sqrt{n}
]
证明
若(dlesqrt{n})，则能得到总共不超过(sqrt{n})种结果（(d)只有(sqrt{n})种选择）；
若(d>sqrt{n})，则因为(lfloor frac{n}{d}
floorlefrac{n}{d}lesqrt{n})，且(lfloor frac{n}{d}
floor)为整数，所以也最多不超过(sqrt{n})种取值；
综上所述，总共不超过(2sqrt{n})种可能取值。
( ext{Dirichlet})卷积
定义
定义两个数论函数(f,g)的( ext{Dirichlet})卷积为：
[(f*g)(n)=sum_{d|n}f(d)g(frac{n}{d})
]
性质
( ext{Dirichlet})卷积满足交换律和结合律。其中(epsilon)为( ext{Dirichlet})卷积的单位元，任何数论函数卷上单位元都为其本身。
常见形式
[egin{align*}
epsilon& =mu *1\\operatorname{d}& =1*1\\sigma& =operatorname{id}*1\\phi& =mu*operatorname{id}\\end{align*}]
( ext{M?bius})反演
公式
[egin{align*}
f(n)&=sum_{d|n}g(d)\\Leftrightarrow g(n)&=sum_{d|n}mu(d)f(frac{n}{d})\\end{align*}]
证明
(1)直接代入
[egin{align*}
sum_{d|n}mu(d)f(frac{n}{d})&=sum_{d|n}mu(d)sum_{k|frac{n}{d}}g(k)&=sum_{k|n}g(k)sum_{d|frac{n}{k}}mu(d)&=sum_{k|n}g(k)epsilon(frac{n}{k})&=g(n)
end{align*}]
(2)进行卷积
[egin{align*}
f*mu=g*1*mu=g*epsilon=g
end{align*}]
以上是关于莫比乌斯反演的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章