数论18——反演定理（莫比乌斯反演）
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数论18——反演定理（莫比乌斯反演）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
莫比乌斯反演也是反演定理的一种
既然我们已经学了二项式反演定理
那莫比乌斯反演定理与二项式反演定理一样，不求甚解，只求会用
莫比乌斯反演长下面这个样子(=・ω・=)
d|n，表示n能够整除d，也就是d是n的所有因子
μ(x)是莫比乌斯函数，它是这样计算的
μ(1) = 1
x = p1 * p2 * p3 ……*pk（x由k个不同的质数组成）则μ(x) = (-1)^k
其他情况，μ (x) = 0
比如
30 = 2 * 3 * 5
μ(30) = (-1)^3
4 = 2 * 2
μ(4) = 0
对于μ(d)函数，它有如下的常见性质：
（1）对任意正整数n有
（2）对任意正整数n有
求μ的函数的方法很多
这里提供一种线筛的预处理（复杂度O(n)哟~~~）
#include<cstdio>
const int N = 1e6 + 5;
int mu[N], vis[N], prime[N];
int tot;//用来记录prime的个数
void init(){
mu[1] = 1;
for(int i = 2; i < N; i ++){
if(!vis[i]){
prime[tot ++] = i;
mu[i] = -1;
}
for(int j = 0; j < tot && i * prime[j] < N; j ++){
vis[i * prime[j]] = 1;
if(i % prime[j]) mu[i * prime[j]] = -mu[i];
else{
mu[i * prime[j]] = 0;
break;
}
}
}
}
int main(){
init();
}
上次，有人问我μ为啥不是miu是mu
这。。。当然都可以啦，μ的英文就是mu，miu是读音看你习惯
∑(っ °Д °;)っ为了证明我是对的，我特意百度了希腊字母读音及科学方面应用
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大写
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小写
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英文读音
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国际音标
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意义
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Α
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α
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alpha
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/ˈælfə/
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角度，系数，角加速度
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Β
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β
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beta
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/\'beitə/
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磁通系数，角度，系数
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Γ
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γ
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gamma
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/\'gæmə/
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电导系数，角度，比热容比
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Δ
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δ
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delta
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/\'deltə/
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变化量，屈光度，一元二次方程中的判别式
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Ε
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ε
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epsilon
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/ep\'silon/
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对数之基数，介电常数
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Ζ
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ζ
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zeta
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/\'zi:tə/
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系数，方位角，阻抗，相对粘度
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Η
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η
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eta
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/\'i:tə/
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迟滞系数，效率
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Θ
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θ
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theta
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/\'θi:tə/
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温度，角度
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Ι
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ι ℩
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iota
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/ai\'oute/
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微小，一点
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Κ
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κ
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kappa
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/kæpə/
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介质常数，绝热指数
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∧
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λ
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lambda
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/\'læmdə/
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波长，体积，导热系数
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Μ
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μ
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mu
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/mju:/
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磁导系数，微，动摩擦系（因）数，流体动力粘度
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Ν
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ν
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nu
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/nju:/
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磁阻系数，流体运动粘度,光子频率
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Ξ
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ξ
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xi
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/ksi/
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随机数，（小）区间内的一个未知特定值
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Ο
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ο
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omicron
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/oumaik\'rən/
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高阶无穷小函数
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∏
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π
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pi
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/pai/
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圆周率，π(n)表示不大于n的质数个数
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Ρ
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ρ
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rho
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/rou/
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电阻系数，柱坐标和极坐标中的极径，密度
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∑
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σ ς
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sigma
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/\'sigmə/
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总和，表面密度，跨导，正应力
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Τ
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τ
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tau
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/tau/
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时间常数，切应力
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Υ
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υ
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upsilon
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/ju:p\'silən/
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位移
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Φ
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φ
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phi
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/fai/
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磁通，角，透镜焦度，热流量
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Χ
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χ
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chi
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/kai/
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统计学中有卡方(χ^2)分布
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Ψ
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ψ
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psi
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/psai/
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角速，介质电通量
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Ω
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ω
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omega
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/\'oumigə/
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欧姆，角速度，交流电的电角度
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其实莫比乌斯有两种描述
莫比乌斯第一种描述，一般是这种
莫比乌斯第二种描述，这种也可以而且有些题这种更好
来做题吧
hdu 1695
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1695
（这题就是容斥那一章的，我就把下面的题意照搬过来了，还记得题目的就跳过题目吧）
题意:给你5个数a，b，c，d，k
在a~b中选一个x, c~d中选一个y，满足gcd(x,y) = k , 求(x,y) 的对数
a, b, c, d, k, 0 < a <= b <= 100,000, 0 < c <= d <= 100,000, 0 <= k <= 100,000
在题目描述的最后一行有一句话，多组里面所有的a和c都是1（这题目不是坑爹吗(╯‵□′)╯︵┻━┻那输入a和c有什么用）
然后题目变成
在1~b中选一个x, 1~d中选一个y，满足gcd(x,y) = k , 求(x,y) 的对数 。。。（无语中。。。）
前面思路一样
先把问题就转化为求1~a区间 和 1~b区间，gcd(x,y) = 1对数的问题
设f(d)为满足gcd(x,y)=d的x,y的对数
我们根据莫比乌斯第二描述来做
那F(1) = f(1) + f(2) + f(3) + ....
F(2) = f(2) + f(4) + f(6) +.....
我们可以看出F(d)就是满足gcd(x,y)为d的倍数的x,y的对数
那F(d)的公式就容易求了
F(d) = (a/d) * (b/d)
（在1~a中，有a/d个数是d的倍数，在1~b中，有b/d个数是d的倍数，这些数不管怎么选择，构成的gcd(x,y)都是d的倍数）
因为
F(1) = f(1) + f(2) + f(3) + ....
所以
f(1) = μ(1)*F(1) + μ(2)*F(2) + μ(3)*F(3) + ...
AC代码：
#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 1e6 + 5; int mu[N], vis[N], prime[N]; int tot;//用来记录prime的个数 void init(){ mu[1] = 1; for(int i = 2; i < N; i ++){ if(!vis[i]){ prime[tot ++] = i; mu[i] = -1; } for(int j = 0; j < tot && i * prime[j] < N; j ++){ vis[i * prime[j]] = 1; if(i % prime[j]) mu[i * prime[j]] = -mu[i]; else{ mu[i * prime[j]] = 0; break; } } } } LL Mobius(int a, int b){ LL ret = 0; for(int i = 1; i <= a; i ++){//因为公式中有a/i，所以for到a就可以了 ret += 1ll * mu[i] * (a / i) * (b / i); } //我们现在求完了总对数，但是题目要求的类似(5,7)和(7,5)算一种 //所以接下来我们开始去重 LL temp = 0; for(int i = 1; i <= a; i ++){ temp += 1ll * mu[i] * (a / i) * (a / i); } return ret - temp / 2; //比如a=5,b=7那么(4,6)这样子的区间不可能有重复的(6,4) //所以重复的部分只在1~a中，所以最后减去一半的重复区间就好了 } int main(){ init(); int T, a, b, c, d, k; scanf("%d", &T); for(int cas = 1; cas <= T; cas ++){ scanf("%d%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d, &k); if(k == 0){ printf("Case %d: 0\\n", cas); continue; } b /= k; d /= k; if(b > d) swap(b, d); printf("Case %d: %I64d\\n", cas, Mobius(b, d)); } }
/////////////////此处施工中//////////////////
暂时弃坑。。。。
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=94200#overview
峰神挂的莫比乌斯反演章节，有兴趣自己去做做，不会的去百度。。。。
以上是关于数论18——反演定理（莫比乌斯反演）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章