莫比乌斯反演入门

Posted 2021-01-16 cjjsb

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了莫比乌斯反演入门相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

Preface

莫比乌斯反演，数论中最令人头疼的一部分。可以把一些十分困难的问题变得~~依然很困难~~简单。

很早之前就想好好学一下反演，但苦于连(mu)的意义都搞不懂。直到有一天我偶然看到了一句话：

那些各种各样的性质与定理，大多是前人几年甚至几十年才得出来的，哪里是你几天就能理解并证明的。

（PS：每当你阅读本文并感到无法理解时，请再次阅读一遍上面的话。）

因此我就开始一脸懵逼地强行学习起反演了，一段时间之后发现也没有那么难理解。

学习的过程大多参照peng-ym‘s blog

关于莫比乌斯函数

莫比乌斯函数的定义

我们先考虑一个简单的东西，容斥公式（这个相信大家自己YY一下就知道了）

所以从现在开始我们把(mu)当做一个类似于容斥系数一样的东西，我们先给出(mu)的定义：

当(d=1)时，(mu(d)=1)
当(d=prod_{i=1}^t p_i)(即(d)的唯一分解式)且(p_i)为互异素数时，(mu(d)=(-1)^k)，即此时(d)没有平方质因子
其它时候(mu(d)=0)

PS：尽管你不知道它问什么要这么定义也没关系，当你明白狄利克雷卷积以及相关更高级的数论姿势后就会慢慢明白(mu)为什么要这么定义了。

莫比乌斯函数的性质

(sum_{d|n} mu(d)=[n=1](nin N^+))。（用(mu)是容斥系数的性质即可证明，反正我不会）
(sum_{d|n} frac{mu(d)}{d}=frac{phi(n)}{n})（把莫比乌斯函数和欧拉函数很好的联系在一起，我会在杜教筛及其前置技能狄利克雷卷积中给出证明）

莫比乌斯函数的求法

因为莫比乌斯函数是典型的积性函数，因此和欧拉函数一样都可以用欧拉筛筛出来。

主要是利用它的第二条定义来取反符号。这里给出一段代码：

#define Pi prime[j]
inline void Euler(void)
{
    vis[1]=miu[1]=1; for (RI i=2;i<=P;++i)
    {
        if (!vis[i]) prime[++cnt]=i,miu[i]=-1;
        for (RI j=1;j<=cnt&&i*Pi<=P;++j)
        {
            vis[i*Pi]=1; if (i%Pi) miu[i*Pi]=-miu[i]; else break;
        }
    }
}
#undef Pi