莫比乌斯反演入门

Posted 2022-07-28 mooleetzi

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积性函数

定义

若 \(f(x)f(y)=f(xy)\)且\((x,y)=1\) ，则 \(f(x)\)为积性函数。

性质

若\(f(x)\)和\(g(x)\)均为积性函数，则以下函数也为积性函数：

\[\beginalign&h(x)=f^p(x)\&h(x)=f(x^p)\&h(x)=f(x)g(x)\&h(x)=\sum_d\mid xf(d)g(x/d) \endalign\]

常见积性函数

1. 约数函数 \(\sigma_k(n)=\sum_d\mid nd^k\) 表示n的约数的k次幂之和
2. 约数和函数 \(\sigma(n)=\sum_d\mid nd\) 表示n的约数和 (\(3.1,k=1\))
3. 约数个数函数 \(\tau(n)=\sum_d\mid n1\) 表示n的约数个数 通常也写作\(d(n)\)
4. 欧拉函数 \(\phi(n)=\sum_i=1^n-1(i,n)=1\) 表示\([1,n-1]中与n互素的数的个数\)
5. 莫比乌斯函数 \[\mu(n)=\begincases1 & n=1\\0 & \exists d: d^2\mid n\\(-1)^\omega(n) & otherwise\endcases\] \(\omega(n)\mbox表示n的不同素因子个数\) 莫比乌斯函数与单位函数在迪利克雷卷积中互为逆元
6. 单位函数 \(\epsilon(n)=(n=1),\mboxiff n=1 \epsilon(n)=1 otherwise \epsilon(n)=0\)