莫比乌斯反演专题总结

Posted 2020-07-27 GFY

先定义一下，数论函数指的定义域是在正整数域下f(1)不等于0的函数。

来自Syu Gau

http://www.zhihu.com/question/23764267/answer/26007647

有以下几个概念

1，卷积：
设是两个数论函数（也就是说，以自然数集为定义域的复数值函数），则卷积运算定义为

可以证明，卷积运算满足：
1）交换律：
由定义显然。

2）结合律：
考察两边作用在上，左边是

右边是

故两边相等。

3）存在单位元使得
我们需要

故不难猜到应该定义为
事实上，直接验证可得


以上说明数论函数在卷积意义下构成一个交换群。


2，乘法单位元
上面的是数论函数在卷积意义下的单位元，而普通乘法意义下的单位元显然是把所有自然数都映到1的函数，记作。


3，莫比乌斯函数
在卷积意义下的逆元，称为莫比乌斯函数。也就是说是满足

的唯一的数论函数。
把这个表达式写开就是
…………(*)

通常，莫比乌斯函数定义为
；
，如果能写成个不同素数之积；
，其他情况。

按照这种定义不难证明(*)式。
对于，(*)式成立；
对于，用算术基本定理把写成

于是




现在来看看莫比乌斯反演说的是什么呢？

当且仅当

换而言之，


证明：

反之

而关于gcd,我们假设

g(i)代表在i=gcd(x,y)下

f(i)代表在i|gcd(x,y)下

有

f(n)=Σg(d) d|n

g(n)=Σf(d)*u(n/d) d|n

这本质上是一种容斥~