算法狄利克雷卷积 & 莫比乌斯反演

Posted 2020-11-14 twilight-sx

　　虽然标题是狄利克雷卷积 & 莫比乌斯反演，但这篇文章应该说重在自己对于莫比乌斯反演 + 线性筛的一些感受。

　　在正文开始之前感谢一下几篇论文 & 博客以及一位大佬 remoon_OFN。

　　1. 2016国家集训队论文任之洲《积性函数求和的几种方法》

　　2. PoPoQQQ 的相关题解（%%%）。

　　3. 当然除此之外还有很多……

 

　　其实两三个月之前我就已经接触过反演了，但在那个时候对反演完全是一种懵逼的状态。重点其实还是在于通过自己多推式子，多化式子来理解和接受卷积的这样一种运算。当然，丰富的数论知识也是必不可少的（有时候一些题目会用到一些奇奇怪怪的性质）。总之，反演是一个非常神奇的算法：

内容为：若我们有 (f = 1 * g)

则有 (g = mu * f)

　　这是一种式子的变形，当原本的式子中出现了(f) 或 (g) 的时候，可以考虑用另一个函数来替换它，从而找到一个易求得的式子。常用的卷积关系有如下几种：

(mu * 1 = epsilon )

(phi * 1 = id)

(id * mu = phi)

　　（以上式子中的函数均为积性函数）。注意：积性函数的卷积依然为积性函数，并且卷积满足结合律， 交换律，分配律。

　　首先我们通过一道简单的题目来感受一下卷积和反演所起到的作用：题面在此：HAOI2011

　　注意到(i, j) 都有一定的范围，但是这样的范围显然可以通过容斥来解决。所以问题转化为：如何快速求出

(sum_{i = 1}^{n}sum_{j = 1}^{m}gcdleft ( i, j ight ) = k)

发现如果是(i,j)的最大公约数为(k)，那么(gcdleft ( frac{i}{k} , frac{j}{k} ight ) = 1)。

所以我们改为枚举(frac{i}{k} , frac{j}{k}) ：

(sum_{i = 1}^{frac{n}{k}}sum_{j = 1}^{frac{m}{k}}gcdleft ( i, j ight ) = 1)

　注意到最后是一个判别式，所以是一个原函数(epsilon )

联想到(mu * 1 = epsilon )

我们将式子转化为(sum_{i = 1}^{frac{n}{k}}sum_{j = 1}^{frac{m}{k}}sum_{d|gcdleft ( i,j ight )}mu left ( d ight ))

又因为这其中的(d)对于每一个是其倍数的二元组(left ( i,j ight ))产生贡献

所以有(sum_{d = 1}^{n}mu left ( d ight )left lfloor frac{n}{dk} ight floorleft lfloor frac{m}{dk} ight floor)

此时我们进行数论分块，前缀和优化一下求解就可以啦。

　　以下是几道题，按照个人认为的难度大致排了一下次序，应该会陆续写出题解：

　　1.HAOI2011 Problem b

　　2.YY的GCD

　　3.SDOI2015约数个数和

　　4.Crash的数字表格 / JZPTAB

　　5.bzoj3309 DYZ loves math

　　6.简单的数学题（杜教筛）

　　7.SDOI2014数表

　　然后还有没做的，但感觉非常神的几道题：

　　1.bzoj4174 tty的求助

　　2.树上的毒瘤 bzoj3512 DZY Loves Math IV

　　3.bzoj3601一个人的数论

　　祝大家食用愉快……