[积性函数杜教筛莫比乌斯函数入门]学习总结

Posted 2021-07-12 skywalker767

文章目录

• • • 什么是积性函数？
    • 狄利克雷卷积
    • 莫比乌斯函数
    • • 莫比乌斯反演
    • 杜教筛公式
    • • 技巧
    • 参考文献：

什么是积性函数？

1.数论函数

在数论上，算术函数（或称数论函数）指定义域为正整数、陪域为复数的函数，每个算术函数都可视为复数的序列。
最重要的算术函数是积性及加性函数。算术函数的最重要操作为狄利克雷卷积，对于算术函数集，以它为乘法，一般函数加法为加法，可以得到一个阿贝尔环。

2.积性函数

积性函数指对于所有互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。

• 定理1.1：积性函数的和函数也是积性函数，如果f是积性函数，那么f的和函数$F(n)={\sum }_{d|n}f(d)$也是积性函数。
• 常见的积性函数：
  $I(x)恒等函数，I(n)=1$
  $id(n):单位函数，id(n)=n$
  $I_k(n):幂函数，I_k(n)=n^k$
  $ϵ(n):原函数，ϵ(n)=\{\begin{array}{l}1(n=1)\\ 0(n>1)\end{array}$
  $\sigma (n):因子和函数，\sigma （n）={\sum }_{d|n}d$
  $d(n)：约数个数，d(n)={\sum }_{d|n}1$
  $\mu (n):莫比乌斯函数$
  $gcd(n,k)：最大公因子，当k固定的情况$

狄利克雷卷积

设 $f,g$是算数函数,记$f,g$的狄利克雷卷积是$f\ast g$, 定义为 $$(f\ast g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$

狄利克雷卷积满足:交换律,结合律,分配律

莫比乌斯函数

1.莫比乌斯函数($\mu (x)$)的定义:
    $$\mu (x)=\{\begin{array}{l}0(\exists {\alpha }_i⩾2)\\ (-1{)}^k(\forall {\alpha }_i=1)\end{array}$$
2.莫比乌斯函数($\mu (x)$)的性质:
    $$若有：ϵ(x)=\sum _{d|n}\mu (d)，那么:ϵ(x)=\{\begin{array}{l}1(n=1)\\ 0(n>1)\end{array}$$

莫比乌斯反演

提到莫比乌斯函数，那莫比乌斯反演必不可少。
   公式一:
$$若F(n)=\sum _{d|n}f(d),则f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)\ast F(\frac{n}{d})$$
   公式二:
$$若F(n)=\sum _{n|d}f(d),则f(n)=\sum _{n|d}\mu (\frac{d}{n})\ast F(d)$$
关于莫比乌斯反演的证明，会在不久后更新。

杜教筛公式

杜教筛是用于解决数论函数f(x)的前缀和的问题.
如:$s(n)={\sum }_{i=1}^{n}f(i)$

构造$$h=g\ast f$$
得
$$\sum _{i=1}^{n}h(i)=\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}$$

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