数论函数——莫比乌斯反演

Posted 2020-11-16 liuquanxu

一些函数的一些性质

取整函数 (lfloor x floor)

（一）(lfloor x floor <= x < lfloor x floor +1)

（二）对任意x与正整数a，b(lfloor lfloor frac{x}{a} floor /b floor=lfloor frac{x}{ab} floor)

（三）对于正整数n，1 -- n中d的倍数个数为 (lfloor frac{n}{d} floor)

（四）若n为正整数，(lfloor frac{n}{d} floor)不同取值个数不超过(2 imessqrt{n}种)

证明：
(（1）若d leq{sqrt{n}},lfloor frac{n}{d} floor只有不超过sqrt{n}种)

(（2）若d>sqrt{n}，lfloor frac{n}{d} floor leq frac{n}{d} leq sqrt{n},lfloor frac{n}{d} floor 不超过sqrt{n}种)

(综上,lfloor frac{n}{d} floor 不超过2 imes{sqrt{n}}种)

调和数

定义 [Hn=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{k}]运算得[ Hn=ln(n)+r+o(1) ]其中r为欧拉马歇罗尼常数，r约为0.577 ，因此[ sumlimits_{d=1}^{n} lfloor frac{n}{d} floor = o(n imes{logn)} ]

素数计数函数

[ pi(n)sim frac{n}{ln (n)}][ 因此n附近素数密度近似为frac{1}{ln(n)}][ 第n个素数pnsim n imes{ln(n)}]

数论函数

积性函数

[ f为数论函数，对互质的正整数a，b，f(a imes{b})=f(a) imes{f(b})]

完全积性函数

[ f为数论函数，对任意的正整数a，b，f(a imes{b})=f(a) imes{f(b})]
(若f为积性函数，) [ n=p1^{a1} imes{p_2^{a_2}} imes{p_3^{a_3}}...... imes{p_s^{a_s}}][ f(n)=f(p_1^{a_1}) imes{f(p_2^{a_2})} imes{f(p_3^{a_3})}...... imes{f(p_s^{a_s})}]

单位函数

[epsilon(n)=[n==1]= left{ egin{aligned} 1&,n=1 0&,n!=1\end{aligned} ight. ]

除数函数

(delta_k(n)表示n因子的k次方之和)
[ delta_k(n)=sumlimits_{d|n}d^k]

Euler函数：(phi(n))

(Euler函数表示不超过n且与n互质的正整数个数)
性质：
[ n=sumlimits_{d|n}phi(d) ]
证明：

(若gcd(n,i)=d，gcd(frac{n}{d},frac{i}{d})=1)

(其中frac{i}{d}是不超过frac{n}{d}的整数，由欧拉函数的定义，i的个数为phi(frac{n}{d})个)

(对于所有的d|n，n=sumlimits_{d|n}phi(frac{n}{d})=sumlimits_{d|n}phi(d))

Dirichlet 卷积

(f,g为数论函数，数论函数h满足) [ h(n)=sumlimits_{d|n}f(d)g(frac{n}{d})]
(则h为f与g的Dirichlet卷积，记为)
[h=f ast g]

性质

((1)单位函数epsilon为Dirichlet卷积的单位元，即对于任意函数f，有)
[epsilon ast f=f ast epsilon =f]

((2)满足交换律和结合律)

((3) 若f,g为积性函数，f ast g也为积性函数)

((4) 逆函数：f ast f_逆=epsilon)

(定义幂函数：Id_k(n)=n^k,Id=Id_1)

(所以除数函数: delta_k=1 ast Id_k)

(Euler函数： phi(n) = 1 ast Id)

计算Dirichlet卷积：

(f,g为数论函数，则 f ast g在n处的值需要枚举n的所有约数)

(计算f ast g的前n项，枚举1到n中每个数的倍数)

Mobius 函数

[mu(n)= left{ egin{aligned} &1&n=1 &(-1)^s&n=p_1 imes{p_2} imes{p_3}...... imes{p_s}&0&otherwise \end{aligned} ight. ]
(其中p_1,p_2,p_3为素数)

性质

[sumlimits_{d|n}mu(n)= epsilon(n) Rightarrow mu ast 1 = epsilon]

证明：

(n=1,显然成立)

(n>1)

(设n有s个不同的素因子，由Mobius函数定义,)

(当且仅当d无平方因子的时候，mu(d)!=0)

(于是d中的每一个素因子的指数只能是0或1)

(故由二项式定理)

[sumlimits_{d|n}mu(d)=sumlimits_{k=0}^s (-1)^k(s,k)=(1-1)^s=0]

(得证)

Mobius变换

(设f为数论函数，定义函数g满足：)
[g(n)=sumlimits_{d|n}f(d)]
(则称g为f的Mobius变换，f是g的Mobius逆变换)

(Dirichlet卷积) [g=f ast 1]

Mobius反演

(g(n)=sumlimits_{d|n}f(d)的充要条件为f(n)=sumlimits_{d|n}g(d)mu(frac{n}{d}))

证明：

[g=f ast 1]
[f=f ast epsilon =f ast 1 ast mu =g ast mu]

得证。

应用

利用Dirichlet卷积可以解决一系列求和问题。
常用一个Dirichlet卷积替换求和式中的一部分，然后调换求和顺序，最终降低时间复杂度。

常用：
(mu ast 1= epsilon)
(Id = 1 ast phi)