数论函数与莫比乌斯反演

Posted 2022-12-11 hikigaya

数论函数

取整函数 　　

定义

对于实数 \(x\)，记 \(?x?\) 为不超过 \(x\) 的最大整数。
\(\lfloor x \rfloor\) 也是满足如下关系的唯一整数：
\(\lfloor x \rfloor ≤x<\lfloor x \rfloor+1\)　　

对于正整数 \(n\)，\(1\) 到 \(n\) 中 \(d\) 的倍数有 \(?\fracnd?\) 个

　 性质1

对于任意的 \(x\) 与正整数 \(a\)，\(b\)，我们均有：　　　　　　

\[ ??\fracxa?/b? = ?\fracxab? \]

　 性质2

\(?\fracnd?\) 可能的取值不超过 2√n 种。

　 证明

对于正整数 \(n\)，考虑当 \(1≤d≤n\) 时，\(?\fracnd?\) 的不同的取值个数。
若 \(d≤\sqrt n\)，则能得到的 \(?\fracnd?\) 只有不超过 \(\sqrt n\) 种。
若 \(d>\sqrt n\)，则 \(?\fracnd?≤\fracnd<\sqrt n\)，又因为 \(?\fracnd?\)是正整数，故此时
可能的取值也不超过 \(\sqrt n\) 种。
综上，\(?\fracnd?\) 可能的取值不超过 \(2\sqrt n\) 种。

调和数　

\[ \beginalign &H_n=\sum_k=1^n\frac1k\&=\ln n+\gamma+o(1) \endalign \]

可以推出：
\[ \beginalign \sum_d=1^n\lfloor \fracnd \rfloor=\Theta(n logn) \endalign \]

素数计数函数

　　定义&素数定理

令素数计数函数 \(\pi(n)\) 表示不超过 \(n\) 的素数个数。我们有如下的素数定理：

\[ \pi(n)\sim\fracn\ln n \]

　　推论：　　

\(n\) 附近的素数密度近似是 \(\frac1\ln n\) 。

第 \(n\) 个素数 \(p_n\sim n \ln n\) 。

积性函数

　　定义

设 \(f\) 是数论函数，若对任意互质的正整数 \(a, b\) ，都有 \(f(ab) = f(a)f(b)\) ，则称 $f $ 是积性函数。

若对任意的正整数 \(a, b\) ，都有 \(f(ab) = f(a)f(b)\) ，则称 $ f $ 是完全积性的。

单位函数

　　定义

单位函数 \(\epsilon (n)\) 定义为：
\[ \beginalign \epsilon(n)=[n=1]=\left\ \beginmatrix &1,n=1;\\ &0,n\neq1. \endmatrix\right. \endalign \]

除数函数

　　定义

除数函数 \(\sigma_k\) 用来表示 \(n\) 的因子的 \(k\) 次方之和：　　

\[ \beginalign \sigma_k(n)=\sum_d|nd^k \endalign \]

约数个数 \(\sigma_0(n)\) 常记为 \(d(n)\) ，约数和 \(\sigma_1(n)\) 常记为 \(\sigma(n)\) 。
除数函数都是积性函数。

\(Euler\) 函数

　　定义：

\(Euler\) 函数 \(φ(n)\) 表示不超过 \(n\) 且与 \(n\) 互质的正整数的个数。

由 \(n\) 的标准分解并结合容斥原理，我们可以得到 \(Euler\) 函数的表达式：\[\varphi(n)=n\cdot\prod_i=1^s(1-\frac1p_i)\]

其中 \(n = p_1^\alpha_1p_2^\alpha_2 · · · p_s^\alpha_s\) 是 \(n\) 的标准分解。
由此易见 \(Euler\) 函数是积性函数。

　　性质1

对于任意 $ n\(，\)Euler$ 函数有如下性质：

\[n=\sum_d|n\varphi(d)\]

　　证明1

将 \(1\) 到 \(n\) 中的所有整数按与 \(n\) 的最大公约数分类。

若 \(gcd(n, i) = d\)，那么 \(gcd(\fracnd , \fracid ) = 1\) 。而又 \(\fracid\) 是不超过 \(\fracnd\) 的整数，故这样的 \(i\) 有 \(φ(\fracnd)\) 个。
考虑所有 \(d | n\)，我们也就考虑到了所有 \(1\) 到 \(n\) 之间的 \(n\) 个整数，因此有\[n=\sum_d|n\varphi(\fracnd)=\sum_d|n\varphi(d)\]即：
\[ Id=\varphi *1 \]

证明2

可以先证明 \(f(n)=\sum_d|n\varphi (d)\) 为积性函数，然后再证对于质数 \(p\)，有
\[ f(p^c)=\sum_d|p^c\varphi(d)=\varphi(1)+\varphi(p)+\varphi(p^2)+...+\varphi(p^c-1)=p^c \]
可以通过定义与等比数列求和得出，然后结论易得

小技巧,研究一个积性函数,先研究其在质数的幂时的表现。

性质2

\(p|n\) ,则 \(\varphi(np)=\varphi(n)p\)。

使用时有：

\(\varphi(p^k)=(p-1)p^(k-1)\)

代码中：

phi[t]=phi[i]*(i%p[j]?p[j]-1:p[j]);

\(Mobius\) 函数

莫比乌斯函数的定义：
\[ \mu(n)= \beginaligned &1 && n=1 \&0 && 有完全平方因子 \&(-1)^p && 是p个不同素因子积\\endaligned \]
第一次看到这个时我很懵逼，感觉这个函数不那么自然，不知道为什么有这个函数……

但实际上，它是常函数 \(1\) 的逆，即 $\mu * 1=\epsilon $。

而具体推导可以看这里。（其实好像算是一种容斥？）

而这满足了进行莫比乌斯反演的需要。

积性函数的逆：

若 \(f*g=\epsilon\)，则 \(f\) 与 \(g\) 互逆。

莫比乌斯反演

现有关系：

\[ \beginalign F(n)=\sum_d|nf(d) \endalign \]
即：
\[ F=f*1 \]
如果我们易求 \(f\)，那么就可以轻松求出 \(F\)，反之，若 \(F\) 易求，我们如何求出 \(f\)？
\[ F*\mu=f*1*\mu=f*\epsilon=f \]
倍数的莫比乌斯反演：

若：
\[ F(n)=\sum_n|df(d) \]
则：
\[ f(n)=\sum_n|d\mu(d/n)F(d) \]
又作：

若：
\[ F(n)=\sum_k=1^\inftyf(kn) \]
则：
\[ f(n)=\sum_k=1^\infty\mu(k)f(kn) \]

技巧：
\[ [gcd(i,j)=1]=\sum_d|gcd(i,j)\mu(d) \]
证明：

由 \(\mu * 1=\epsilon\)，

即 \(\sum_d|n\mu(d)=[n=1]\)，

将 \(n\) 替换成 \(gcd(i,j)\) 就是上式了。

然后 \(d|gcd(x,y)\) 可以转化为 \(d|x,d|y\)，

然后经常可以枚举 \(d\) 来根据 \(i\)，\(j\) 的贡献来分块求答案。

主要思想：

使用“交换合式顺序”和“改变枚举变量”来化简。

数论分块

具体就不写了，简要记录证明思路，算了，也不写了。

题目及更多技巧等会写