Chomp游戏(必胜策略分析)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Chomp游戏(必胜策略分析)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

游戏简介

Chomp是一个双人游戏,有m x n块曲奇饼排成一个矩形格状,称作棋盘。

----两个玩家轮流自选一块还剩下的曲奇饼,而且还要把它右边和下边所有的曲奇饼都取走(如果存在)

----先吃到左上角(1,1)那块曲奇饼的玩家为失败

如图所示

技术分享图片------红方选择(3,3)--->技术分享图片------蓝方选择(1,4)---->

技术分享图片----红方选择(1,2)--->技术分享图片-----蓝方选择(2,1)-->

技术分享图片------------>红方玩家只能选左上角那一块,失败

分析

首先介绍一个重要定理——策梅洛定理(Zermelo)

策梅洛定理,表明在二人参与的游戏/博弈中,如果满足:
--------游戏的步骤数有限 --------信息完备(二人都了解游戏规则,了解游戏曾经所发生过的信息) --------不会产生平局 --------确定性(游戏中不会加入随机因素) 则先行一方有必胜策略,或者后行一方有必胜策略。

下面证明:除去 1 x 1大小的棋盘外,其他大小的棋盘,先手存在必胜策略。

证明:(反证法)

假设棋盘规模为m x n。

首先,游戏不可能产生平局。

其次,由于每一步移动至少吃掉1块曲奇饼干,因此不超过 mn 步后游戏必定结束。

由策梅洛定理,这个确定性二人有限游戏信息完备,且不存在平局,则或者先行一方有必胜策略,或者后行一方有必胜策略。

如果后手有必胜策略,使得无论先手第一次取哪个石子,后手都能获得最后的胜利。

那么现在假设先手取最右下角的石子(m,n) ,接下来后手可以取某块曲奇(a,b) 使得自己进入必胜的局面。

事实上,先手在第一次取的时候就可以取曲奇 (a,b) ,之后完全模仿后手的必胜步骤,迫使后手失败。

于是产生矛盾。因此不存在后手必胜策略,先手存在必胜策略。

 

注意:这个证明是非构造性存在性证明,也即只是证明了先手必胜策略的存在性,但没有构造出具体必胜策略。而且目前还没有人给出Chomp一般性的必胜策略。

其中一些简单的情况,可以找到必胜策略:

1、棋盘只有一行,但多于一格

-------先手拿去除左上角的全部即可

2、棋盘是正方形,但多于一格

-------先手选取(2,2),之后无论后手做什么,先手只要模仿即可(即关于对角线对称选取)

3、棋盘只有两行

------先手取第二行最后一个,之后无论后手选什么,先手总能采取合适的选择,使得第一行比第二行多一个

类似问题

1、三维Chomp游戏

将曲奇排成 P x Q x R 的立方体,两个玩家轮流自选吃掉一块剩下的曲奇饼,若取走的曲奇饼为 (i,j,k) ,则也要取走所有满足 i ≤ a ≤ P,j ≤ b ≤ Q , k ≤ c ≤ R 的曲奇饼(a,b,c)(如果存在)。

可以类似地将Chomp游戏扩展到任意维,并可以类似地证明,先手都存在必胜策略。

2、有限偏序集上的Chomp游戏

Chomp游戏可以推广到在任意一个存在最小元 a 的有限偏序集(S,≤)上:两名游戏者轮流选择S中的元素 x ,移走 x 以及所有 S 中比 x 大的元素。失败者是被迫选择最小元 a 的玩家。

如果  (S,≤) 有最大元素 b ,那么在偏序集上的Chomp游戏存在一个获胜策略.

3、约数游戏

 给定一个大于1的自然数 N ,两个游戏参与者轮流选择N的大于1的正约数,但不可选择之前被选择过的因子的倍数(例如 N = 72,有一方之前选择了4,则之后任一方都不可以再选择36)

4、删数游戏

给定整数集合 {1,2,...n} ,两个人轮流从中选择一个数字,并将它和它的约数从集合中删除,删除最后一个数的人获胜。

类似Chomp游戏,得到结论就是无论 n 是几,都是先手必胜。

转载自:Liu言杂记

参考链接:中国大学mooc 离散数学 刘铎

 

以上是关于Chomp游戏(必胜策略分析)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

博弈论基础

《Mathematical Olympiad——组合数学》——操作和游戏

过年回家和小朋友玩什么

要么甲必胜,要么乙必胜

Chomp 游戏的算法

Nim游戏