Chomp 游戏的算法

Posted 2023-02-19

【中文标题】Chomp 游戏的算法

【英文标题】：Algorithm for the game of Chomp

【发布时间】：2011-10-13 11:24:28

【问题描述】：

我正在为 Chomp 游戏编写程序。你可以在Wikipedia阅读游戏的描述，不过我还是会简单描述一下。

我们在一块尺寸为 n x m 的巧克力棒上玩耍，即巧克力棒被分成 n x m 个正方形。在每一回合，当前玩家选择一个方格并吃掉所选方格下方和右侧的所有东西。因此，例如，以下是有效的第一步：

目的是迫使你的对手吃掉最后一块巧克力（它是有毒的）。

关于 AI 部分，我使用了带有深度截断的极小极大算法。但是我想不出一个合适的位置评估函数。结果是，使用我的评估函数，人类玩家很容易战胜我的程序。

任何人都可以：

建议一个好的位置评估函数或 提供一些有用的参考或 建议替代算法？

【问题讨论】：

最好在：gamedev.stackexchange.com

【参考方案1】：

你的板子有多大？

如果您的棋盘相当小，那么您可以使用动态编程准确地解决游戏。在 Python 中：

n,m = 6,6
init = frozenset((x,y) for x in range(n) for y in range(m))

def moves(board):
    return [frozenset([(x,y) for (x,y) in board if x < px or y < py]) for (px,py) in board]

@memoize
def wins(board):
    if not board: return True
    return any(not wins(move) for move in moves(board))

wins(board) 函数计算棋盘是否为获胜位置。棋盘表示是一组元组 (x,y)，指示棋子 (x,y) 是否仍在棋盘上。函数 move 计算一次可到达的棋盘列表。

wins 函数背后的逻辑是这样工作的。如果棋盘在我们移动时是空的，那么其他玩家一定吃掉了最后一块，所以我们赢了。如果棋盘不是空的，那么如果有any 移动我们可以赢，我们可以这样做，结果位置是一个失败的位置（即不赢，即not wins(move)），因为这样我们让另一个玩家进入了一个失败的位置.

您还需要缓存结果的 memoize 辅助函数：

def memoize(f):
    cache = dict()
    def memof(x):
        try: return cache[x]
        except:
            cache[x] = f(x)
            return cache[x]
    return memof

通过缓存，我们只计算给定位置的获胜者一次，即使该位置可以通过多种方式到达。例如，如果第一个玩家在第一个动作中吃掉所有剩余的巧克力排，则可以获得单排巧克力的位置，但也可以通过许多其他系列的动作来获得。一次又一次地计算谁在单排板上获胜是很浪费的，所以我们缓存了结果。这将渐近性能从O((n*m)^(n+m)) 提高到O((n+m)!/(n!m!))，这是一个巨大的改进，但对于大型电路板来说仍然很慢。

为了方便，这里有一个调试打印功能：

def show(board):
    for x in range(n):
        print '|' + ''.join('x ' if (x,y) in board else '  ' for y in range(m))

这段代码仍然相当慢，因为代码没有以任何方式优化（这是 Python ......）。如果你用 C 或 Java 高效地编写它，你可能可以将性能提高 100 倍以上。您应该能够轻松处理 10x10 板，并且您可能最多可以处理 15x15 板。您还应该使用不同的板表示，例如位板。如果您使用多个处理器，也许您甚至可以将其加速 1000 倍。

这是从极小极大的推导

我们将从极小极大开始：

def minimax(board, depth):
  if depth > maxdepth: return heuristic(board)
  else:
    alpha = -1
    for move in moves(board):
      alpha = max(alpha, -minimax(move, depth-1))
    return alpha

我们可以去掉深度检查来做一个完整的搜索：

def minimax(board):
  if game_ended(board): return heuristic(board)
  else:
    alpha = -1
    for move in moves(board):
      alpha = max(alpha, -minimax(move))
    return alpha

由于游戏结束，启发式将返回 -1 或 1，具体取决于哪个玩家获胜。如果我们将 -1 表示为 false，将 1 表示为 true，那么 max(a,b) 变为 a or b，-a 变为 not a：

def minimax(board):
  if game_ended(board): return heuristic(board)
  else:
    alpha = False
    for move in moves(board):
      alpha = alpha or not minimax(move)
    return alpha

你可以看到这相当于：

def minimax(board):
  if not board: return True
  return any([not minimax(move) for move in moves(board)])

如果我们从带有 alpha-beta 剪枝的 minimax 开始：

def alphabeta(board, alpha, beta):
  if game_ended(board): return heuristic(board)
  else:
    for move in moves(board):
      alpha = max(alpha, -alphabeta(move, -beta, -alpha))
      if alpha >= beta: break
    return alpha

// start the search:
alphabeta(initial_board, -1, 1)

搜索从 alpha = -1 和 beta = 1 开始。一旦 alpha 变为 1，循环就会中断。所以我们可以假设在递归调用中 alpha 保持 -1 而 beta 保持 1。所以代码等价于：

def alphabeta(board, alpha, beta):
  if game_ended(board): return heuristic(board)
  else:
    for move in moves(board):
      alpha = max(alpha, -alphabeta(move, -1, 1))
      if alpha == 1: break
    return alpha

// start the search:
alphabeta(initial_board, -1, 1)

所以我们可以简单地删除参数，因为它们总是作为相同的值传入：

def alphabeta(board):
  if game_ended(board): return heuristic(board)
  else:
    alpha = -1
    for move in moves(board):
      alpha = max(alpha, -alphabeta(move))
      if alpha == 1: break
    return alpha

// start the search:
alphabeta(initial_board)

我们可以再次从 -1 和 1 切换到布尔值：

def alphabeta(board):
  if game_ended(board): return heuristic(board)
  else:
    alpha = False
    for move in moves(board):
      alpha = alpha or not alphabeta(move))
      if alpha: break
    return alpha

所以你可以看到这等同于将 any 与生成器一起使用，生成器会在找到 True 值后立即停止迭代，而不是总是计算整个子列表：

def alphabeta(board):
  if not board: return True
  return any(not alphabeta(move) for move in moves(board))

请注意，这里我们使用any(not alphabeta(move) for move in moves(board)) 而不是any([not minimax(move) for move in moves(board)])。这加快了对合理尺寸电路板的搜索速度大约 10 倍。不是因为第一种形式更快，而是因为它允许我们在找到 True 值后立即跳过整个循环的其余部分，包括递归调用。

所以你有它，wins 功能只是变相的字母搜索。我们用于获胜的下一个技巧是记住它。在游戏编程中，这将被称为“转置表”。因此，wins 函数正在使用转置表进行字母搜索。当然，直接写下这个算法而不是通过这个推导更简单;）

【讨论】：

不错。真的让我想学习Python。在我看来，游戏主要归结为当只剩下几行和几列时你如何玩，尤其是最后一行和一列。如果解决整个棋盘需要太长时间，我建议只解决最终游戏案例。考虑到这个游戏的性质，你甚至可以让 AI 使用它的第一步将游戏移动到这个状态。我不相信这会损害它获胜的机会。

是的，这是一个绝妙的主意，尤其是当您与人类对战时。即使 AI 移动到的位置很可能是一个失败的位置（因为你从一开始就可以做出的几乎所有移动都是失败的），但人类肯定会犯错误，然后 AI 可以利用该错误来赢得比赛。跨度>

感谢您的精彩回答！如果我理解正确，您的建议相当于没有深度截断的极小值。但是，记忆当然是一个聪明的主意。也许我可以将字典缓存存储到文件中，以进一步加快速度。我用 Python 编程，但我不熟悉辅助函数。用户可以设置板尺寸，因此任何适合屏幕的尺寸都是可能的。我将尝试优化实现，对于大棋盘，使用 Jonathan 的随机游戏理念，直到游戏缩减为更小的棋盘。

是的，你说得对，类似于 minimax 是一种有效的查看方式；我添加了一个解释。

【参考方案2】：

我认为这里不可能有一个好的位置评估功能，因为与国际象棋等游戏不同，除了输赢之外没有“进步”。***文章建议一个详尽的解决方案对于现代计算机是实用的，我想你会发现情况就是这样，只要有适当的记忆和优化。

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