过年回家和小朋友玩什么

Posted 2022-02-04 陆嵩

过年回家和小朋友玩什么

文章目录

• 过年回家和小朋友玩什么
• • 尼姆游戏的必胜策略
  • • 尼姆游戏简介
    • • 初体验
      • 玩法
    • 必胜法
    • • 反推
      • 二进制
      • 如何保持平衡态
      • 二者区别
    • 必胜法记忆
    • • 反推法平衡态记忆
      • 二进制心算的作法
    • 尼姆类似游戏
    • • 减法游戏
      • 多排尼姆游戏
      • 循环尼姆
      • Grundy 游戏

尼姆游戏的必胜策略

三堆数量随机的石头，两个人轮流从其中一堆中拿走任意数量的石头，拿走最后一块的人输，必胜法是什么？

尼姆游戏简介

初体验

三年级的时候，来探亲的姑丈和用扑克牌玩过一个游戏，大概意思的是：三五七张数的三垛牌，每人每次轮流从一垛牌里面拿不少于一张牌，谁拿到最后一张牌算输。我怎么玩怎么输，只觉得姑丈好聪明。那时候的我十分不甘心，把自己关在房顶一早上，苦心钻研，找到的必胜的策略，但是姑丈下午已经走了，从那以后我再没和别人玩过这个游戏。因为但是还小，情况也比较简单，我用的是反推的策略，也就是从最后的状态开始，反向推导必胜的一些状态，那么我只要保证每一步都是这个状态，那么最后一定能赢。

后来，上大学了，我才知道，姑丈和我玩的这个游戏叫反尼姆游戏，它是尼姆游戏的一个变种。下面简单介绍一下尼姆游戏。

玩法

尼姆游戏（英语：Nim），又译为拈，是一种两个人玩的回合制数学战略游戏。游戏者轮流从几排棋子（或者任何道具）中选择一排，再由这一排中取走一个或者多个，依规则不同，拿走最后一个的可能是输家，也有可能是赢家。当指定相应数量时，一堆这样的棋子称作一个尼姆堆。古代就有许多尼姆游戏的变体。最早欧洲有关尼姆游戏的参考资料是在 16 世纪，目前使用的名称是由哈佛大学的 Charles L. Bouton 命名，他也在 1901 年提出了此游戏的完整理论，不过没有说明名称的由来。

尼姆游戏最常见的玩法是拿到最后一个棋子的人输（misère game，反尼姆）。尼姆游戏也可以改为拿到最后一个棋子的人赢（normal play，尼姆游戏）。大部分类似的游戏都是最后一个棋子的人赢，不过这不是尼姆游戏最常见的玩法。不论哪一种玩法，只要刚好剩下一排的棋子是二个或二个以上（其他排可能没有棋子，或是只有一个），下一个游戏者可以轻易的获胜。下一个游戏者可以将数量最多的这排棋子全部拿走或只留一个。剩下的各排都只有一个棋子。 若是 misère 版本，下一个游戏者下完之后，只要留下奇数排就会胜利，若是 normal 版本，下一个游戏者下完之后，只要留下偶数排就会胜利。

normal 版本是由二位游戏者一起玩，有三排棋子，各排的棋子为任意正整数。二位游戏者轮流选一排棋子，拿走上面至少一个棋子，也可以拿同一排的多个棋子。normal 版本的目的是要拿到最后一个棋子。misère 版本的目的就是要让对方被迫拿走最后一个棋子（拿到最后一个棋子的人输）。

必胜法

反推

三年级时候，我琢磨出来的必胜法，是针对当时比较简单的 345 （表示每堆数量为3、4、5）的情况。我拿着扑克牌通过步步反推，找了反尼姆游戏你只要制造如下的状态给对方，你就一定能赢：

3 5 6
3 4 7
2 5 7
2 4 6
1 4 5
1 2 3
1 1 1

尼姆游戏的策略就是在拿完棋子后，使棋子个数符合以下任何一个组态，接下来再轮到时，一定可以再拿走适当数量的棋子，使棋子个数仍符合以下任何一个组态。我们不妨把这些组态称为平衡态。容易证明，平衡态经过一步操作，必然到达的是非平衡态，非平衡态必能通过操作一步达到平衡态。

二进制

通过反推来计算平衡态，终究是 case by base，十分局限的。我们可以用位运算下的异或操作来理解这个事情。我们把一些正整数异或运算的结果（不知道异或的，可以查一下，这里就不介绍了），称为 “尼姆和”，那么尼姆和为零的状态，就是上面提到的平衡态。那么，有以下的结论。

1、在尼姆游戏中，第一个玩家有必胜的策略，当且仅当非平衡态。否则，第二个玩家有必胜的策略。
2、若平衡态，则无论如何取子，接下来必是非平衡态。
3、若非平衡态，必能通过一步操作，达到平衡态。

上面提到的结论证明是 trivial 的，偏数学，有兴趣的人可以查阅相关资料。通过不断地给对方制造平衡态，我们必然可以给自己留下 “只剩一排的棋子超过一个（二个或二个以上）” 的状态。为什么呢？这个留作课后思考题，拍拍你的小脑袋想一想吧。简单地说呢，在游戏过程中，必然其中的某一人会经过这样一个状态。因为这个状态不是平衡态，那么在必胜策略下，必然是我自己要面临这样一个状态。

有了以上理论的支持，我们就可以得到必胜的方法，即：每次都给对方制造平衡态，直到只剩一排的棋子超过一个（二个或二个以上）。下面的操作，就不言而喻了。

如何保持平衡态

我们已经搞清楚了一个问题，就是不断地给对方平衡态，就一定能获胜。那么，面对一个非平衡态，怎么取子才能保证平衡态呢。我们可以采用如下的策略：

1. 令 $d$ 是总尼姆和（不妨记作 $s$）二进制表示法中最左边１的位置，选择一个这个位置也是 1 的堆（不妨记作 $x$）（一定能找到，想想为什么）。
2. 从选择出来的堆中取出 $n$ 子，$n$ 表示 [$x$-$s$ 和 $x$ 的尼姆和]（一定能办到，想一想为什么）。

这么操作，容易想到 $n\le x$，必然是够取的。另外，取完之后，必然达到了一个平衡态，为什么呢？自行想想。提示如下：
$$t=s\oplus x_k\oplus y_k$$
其中 $s$ 表示初始不平衡态的尼姆和，$t$ 表示操作后的尼姆和。$\oplus$ 表示尼姆和。$x_k$ 和 $y_k$ 分别表示对某一堆操作前后的状态值。

二者区别

normal 版本和 misere 版本的差别只在最后一两步，前面都相同：若是玩 misère 版本。前面的策略都一样，只到只剩一排的棋子超过一个（二个或二个以上）时才有不同。此时的策略都是针对超过一个棋子的那排棋子取子，使留下来的每一排都只有一个棋子。接下来玩的人只能从这几排中选一排拿走。取子可能是那排全部取完，或是只剩一个，视游戏版本而定，在玩 misère 版本（拿到最后一个棋子的输）时，要使留下来的排数是单数（因此对方会拿到最后一个棋子），在玩 normal 版本游戏时，要使留下来的排数是偶数。（因此自己会拿到最后一个棋子）。

必胜法记忆

现在回到主题，过年回家和小朋友玩什么。按照上面二进制异或方法，真的玩起来的话，每次操作，岂不是要想或者计算老半天。那这样就没什么意思了，会被小朋友鄙视的。我们必须想一些可操作性的法子。

反推法平衡态记忆

我们可以记忆固定类型下的一些平衡态。

2 堆	3 堆	4 堆
2 2	1 2 3	1 1 n n
3 3	1 4 5	1 2 4 7
4 4	1 6 7	1 2 5 6
5 5	1 8 9	1 3 4 6
6 6	2 4 6	1 3 5 7
7 7	2 5 7	2 3 4 5
8 8	3 4 7	2 3 6 7
9 9	3 5 6	2 3 8 9
n n	4 8 12	4 5 6 7
	4 9 13	4 5 8 9
	5 8 13	n n m m
	5 9 12	n n n n

譬如说，对于年纪小一点的小朋友，我们可以和他们玩 345 的反尼姆游戏，这时候平衡态就是 123 和 145。对于年纪大一些的，可以玩 357 的反尼姆游戏，这时候的平衡态有：123、145、246、257、347、356。心里默默记下这些数，自然就妥了。

二进制心算的作法

另一个方法，比较容易心算的作法，但是需要有一定的心算能力。将三堆的个数分别表示为相异二次幂的和，设法消除成对的次幂，再将最后留下的数字想想怎么从一堆拿掉一部分，让剩下的能全消除即可。举个例子，对于 345 的情况，

3 = 0 + 2 + 1 =     2   1      
4 = 4 + 0 + 0 = 4              
5 = 4 + 0 + 1 = 4       1      
--------------------------------------------------------------------
1和4都消去了, 剩下的是2,直接在第一堆拿掉一个2，便全零了，全零相加便是平衡态。

因此下一步是在第一堆拿走二个棋子，使其数量变 1。再举个例子，对于 4、9、14 的例子。

4 = 0 + 4 + 0 + 0 = 0  4  0   0      
9 = 8 + 0 + 0 + 1 = 8  0  0   1            
14= 8 + 4 + 2 + 0 = 8  4  2   0      
--------------------------------------------------------------------
8和4都消去了, 剩下的是第三堆的2和第二堆的1,直接在第三堆拿掉1，剩下的第二堆的1和第三堆的1，尼姆和为0，便是平衡态了。

对于4、9、14，消去 8（ 2 的三次幂），成了4、1、6，再消去 4，成了 0、1、2，此时不可再消了，只在第三堆拿掉 1，配平乘 0、1、1，尼姆和便是 0 了。怎么样，是不是还是很好心算的。

尼姆类似游戏

减法游戏

那天和同学去吃饭，聊起了两个人走台阶，每个人只能在前面人的基础上选择走固定的集合(比如说1 2 3 4) 里面的步数，谁抢到最后一个台阶算胜利。请问必胜策略是什么。这个游戏称为减法游戏，它会先给出一个总数，以及每一次可以拿走的最大数量。可能每一次只能拿走1个、2个 … 至 k 个。对于减法游戏，我们给出如下理论。

若棋子只有一排，共有 n 个棋子，其必胜策略当且仅当：

• n ≡ 0 (mod k + 1)（后拿的人赢）
• n ≡ 1 (mod k + 1)（后拿的人输）

比如说 n=21、k=3 的时候，我们习惯叫 21 游戏。21 游戏一般会用拿到最后一个棋子的人输的玩法。可以有数个游戏者参与。第一个游戏者说 1，其他的游戏者可以在前一个人的数字加 1,2 或是 3。数到 21 的游戏者输。若是二个游戏者玩，有必胜的策略，就是让加完的数字维持是 4 的倍数。这可以使另一方最后一定会数到 21。21 游戏的数字也可以修改，例如改为“最多加 5，数到 31 的人输”。

多排尼姆游戏

另一个版本的尼姆游戏，是允许在每一堆中取走相同数量的棋子。

循环尼姆

另一种尼姆游戏的变体是循环尼姆，将一定数量的棋子摆成圆形，二个游戏者轮流取棋子，可以取相邻的一个、二个或三个棋子。直到谁取走最后一个算输或者赢。

Grundy 游戏

Grundy 游戏也是尼姆游戏的变体，一开始有一堆特定数量的棋子，游戏者要轮流将某一堆棋子分为二排数量不同，且都不为 0 的棋子。例如 6 个棋子可以分为 5+1、4+2，但不能分为3+3。此游戏可以让最后一个人赢或是输。