博弈论基础

Posted 2020-12-19 fxq1304

具有胜败游戏的基础
通过分析各个状态的胜败条件，判断必胜态和必败态，是具有胜败游戏的基础。

首先判断最终状态的胜败（比如两人轮流取硬币，没有硬币可取的一方失败，则硬币数(x=0)为必败态）
如果某个状态的后继状态中存在必败态，则这个状态为必胜态
如果某个状态的后继状态全部为必胜态，则这个状态为必败态

通常使用搜索或者动态规划遍历所有状态，判断每一个状态是必胜态还是必败态
对称策略
对称策略是一种常见的博弈策略，是指在游戏中做出对称状态后再完全模仿对手的策略
如果轮到自己时可以将状态分成对称的两部分，那么不管对手怎么选取，自己只要采取同样的方法在对称的部分中选取，就可以重新回到两个相同部分的状态。这样可以使得自己取走最后一件物品，对手在下一回合因为没有物品可以选择而失败

相关题目：hdu3951 Coin Game
(n)枚硬币围成一个环，两人轮流取硬币，每一次可以取([1,k])范围内的连续的硬币，没有硬币可取的一方失败，两人都采取最优策略，判断谁会赢得游戏。

先手第一次取过硬币之后，如果没有全部取完，则所有硬币会变成一条链，后手可以在链的中间根据奇偶性的情况取1枚或者2枚硬币，使得整条链分成完全相同的两部分，然后后手可以采取对称策略赢得比赛。
所以当(nleq k)时，先手第一次可以取完所有硬币，先手赢得游戏，其他情况除了(k==1)之外，全部是后手采取对称策略赢得比赛，(k==1)的情况直接根据(n)的奇偶性判断。