博弈论之入门小结

Posted 2020-06-17

经过几天的学习和刷题，总算对博弈论的基础懂了一些，学习过程中参考了以下两位的总结：

               博弈总结        博弈论题目列表

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下面列出一些基础博弈的结论定理（证明过程略）：

（一）巴什博弈（Bash）：

           一个堆中有n个物体，两人轮流取，每次至少取1个，至多取m个，最后取完者胜。

    取胜法则：令n=（m+1）*r+s  （s<=m，r为任意自然数），先取者要想取胜，则要求第一次取时必须取s个。

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（二）威佐夫博弈（Wythoff）：

           两个堆中各有若干个物品，两人轮流从某一堆或从两堆中同时取同样多个物品（每次至少1个，可任意多个），最后取完者胜。

 

     定义：当甲面对局势（ak,bk）时，甲必定输，则称（ak,bk）为奇异局势。（奇异局势有bk=ak+k）

     性质：

             1.任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中；

             2.奇异局势可通过任意操作变为非奇异局势；

             3.非奇异局势可通过适当的方法变为奇异局势。

 

      Q：如何判断局势（a,b）是否为奇异局势？

      A：若为奇异局势，则有

               (1) ak=floor（k*（sqrt（5.0）+1）/2）; (2) bk=ak+k

            可将k=b-a代入(1)式中，得到ak，比较ak是否等于a，若等于，则为奇异局势，否则为非奇异局势。

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（三）尼姆博弈（Nimm）：

           三个堆中各有若干个物品，两人轮流从某堆中取任意多个物品（每次至少1个，可任意多个），最后取完者胜。

       用（a,b,c）表示某种局势，将a，b，c 以二进制形式进行异或（^）运算，若异或结果为0，则是奇异局势，否则是非奇异局势（非奇异局势可通过适当的方法变为奇异局势）。

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（四）取火柴游戏的两种问题：

           有若干堆火柴，两人依次从中取出，每次只能从一堆中取若干根（>=1），

           问：(Ⅰ) 最后取完者胜，求必胜方法？         (Ⅱ) 最后取完者负，求必胜方法？

 

      定义1：若所有堆的火柴数异或为0，则该状态为利他态（T态），否则为利己态（S）；

对于问题(Ⅰ)：

     定理1：任意S态，总能从一堆火柴中取出若干个，从而变为T态；

      定理2：任意T态，只需取任何一堆中的若干个，就能变为S态；

     取胜法则：S态必胜，T态必败。

 

     定义2：若某堆仅有1根火柴，则称之为孤单堆，否则为充裕堆；

     定义3：T态中，若充裕堆的堆数为0，则称之为部分利他态（T0）；

                            若充裕堆的堆数>=2，则称之为完全利他态（T2）；

    定义4：S态中，若充裕堆的堆数为0，且有奇数堆孤单堆，则称之为S0；

                            若充裕堆仅有1堆，则称之为S1；若充裕堆的堆数>=2，则称之为S2。

对于问题(Ⅱ)：

      定理3：S2态不可一次变为T0态，但S2态可一次变为T2态；

      定理4：T2态只能转为S2态/S1态。

    取胜法则：[ 必胜态：T0，S1，S2 ]  [ 必败态：T2，S0 ]