小结博弈

Posted 2021-02-09 acmerszl

参考资料：https://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2011/08/28/2156426.html

一、巴什博奕

只有一堆物品，两人轮流取，每次最多m个，最少一个。最后取光者获胜

分析：假设共n个物品，n=m+1, 那么先手必败。所以为了先手必胜。可以把n表示为

n = k(m+1) + s  ,  s <= m

只要先手取s个，把数量维持到m+1的倍数即可。对方取r个，自己就取m+1-r个

 

二、威佐夫博弈

有两堆物品，两人轮流取，每次可以从一堆或两堆取相同数量物品，最少1个，最多不限，最后取光者获胜

分析：用（ak,bk）ak<bk, k=0,1,2,3……表示两堆的数量，也称局势

其中如果甲面对(0, 0)局势，那么甲已经输了，称奇异局势

前几个奇异局势：（0,0） (1,2)   (3,5)  (4, 7)  (6, 10)

其中ak就是前面未出现的最小数，bk = ak + k

可以看出奇异局势 有以下三种性质

①：任何自然数都包含在一个且仅有一个的奇异局势中

　　证明：由于ak是没出现的最小数，所以ak>ak-1 而bk=ak+k>ak-1+k-1=bk-1>ak-1

②：任意操作都可以把奇异局势转化为非奇异局势

　　证明：若只改变(ak,bk)的某个分量，那么另一个分量一定不在其他奇异局势里。所以必然是非奇异局势。

　　　　　如果使两个分量同时减少，由于差不变，肯定也是非奇异局势

③：适当操作就可以把非奇异局势转化为奇异局势

　　证明有两个不懂。所以（证明见文顶参考资料）

 

从以上性质可知：面对非奇异局势，先手必胜；反之，后手必胜

现在问题就是 如果判断一个局势（a，b） 是不是奇异局势

深奥的看不是太懂，不过可以这样判断

已知 a < b, 奇异局势：a = k*1.618

k = b - a,  1.618=(sqrt(5)+1)/2;

 

三、尼姆博弈

有三堆物品，两人轮流从某一堆取任意多物品，每次至少一个，最后取光者获胜

 

分析：与二进制有关，用(a,b,c) 表示某种局势，首先(0,0,0) 是奇异局势，无论谁面对必败。

第二种奇异局势(0,n,n), 只要对手拿走一样多的物品，最后都将导致(0,0,0)。

仔细分析（1,2,3)也是奇异局势，无论谁拿，都会变为（0,ｎ,n）

这里介绍异或运算　二进制对应位　不一样为１，一样为0

对于奇异局势　(0,n,n)　异或结果为0

对于任何奇异局势　(a,b,c) 　ａ^b^c = 0

 

如果我们面对非奇异(a,b,c)，要如何变为奇异局势？　

假设ａ<b<c 我们只虚把　ｃ　变为　ａ^b 即可

所以就把ｃ减去ｃ-a^b

 

重点理解：取火柴游戏：

题目1：今有若干堆火柴，两人依次从中拿取，规定每次只能从一堆中取若干根， 
可将一堆全取走，但不可不取，最后取完者为胜，求必胜的方法。 
题目2：今有若干堆火柴，两人依次从中拿取，规定每次只能从一堆中取若干根， 
可将一堆全取走，但不可不取，最后取完者为负，求必胜的方法。

 

定义：若所有火柴数异或为0，则称为利他态，用Ｔ表示，否则就利己态　用Ｓ表示

因为谁面对异或为0, 就输了，所以是利他(对手)态

 

第一个题目：

定理一：对于任何一个Ｓ态，总能从一堆火柴中取出若干使之成为Ｔ态

证明：

　　若有ｎ堆火柴，每堆Ａ(i) 根火柴，那么既然处于Ｓ态，

　　ｃ＝Ａ(1)^A(2)^……^A(n) > 0

　　把ｃ表示成二进制，记最高位为第ｐ位，则必然存在一个A(t), 它的第p位也是1。

　　那么我们把 x=A(t)^c ， 则得到x<A(t)，因为最高位同为1，肯定小了。所以x<A(t)

　　   A(1)^A(2)^……^x^……^A(n)

　　= A(1)^A(2)^……^A(t)^c^……^A(n)

　　= A(1)^A(2)^……^A(n)^A(1)^A(2)^……^A(n)

　　= 0

　　也就是说从A(t)中取出 A(t)-x 根火柴，会从S态变为T态。证毕。

 

定理二：T态，取任何一堆的若干根，都成为S态。

证明：

　　反证法：c=A(1)^A(2)^……^A(i)^……^A(n)

　　c‘=A(1)^A(2)^……^A( i‘ )^……^A(n)　

　　c ^ c‘ = A(1)^A(1)^A(2)^A(2)^……A(i)^A(i‘)^……^A(n)^A(n)=A(i)^A(i‘)=0

　　推出A(i)=A(i‘)，与已知矛盾，所以命题得证

　　　

定理三：S态，只要方法正确，必胜

证明：

　　最终胜利即由S态转化为T态，任何一个S态，只要把它变为T态(由定理一，S态可以变为T态)，对于T态来说只能变为S态(由定理　　　二)。所以S态向T态都可以由自己控制，对方只能被动的实现T态变为S态。故S态必胜

 

定理四：T态，只要对方方法正确，必败

证明：

　　由定理三易得。

总结：对于先取光胜利的博弈，S态必胜，T态必败。

 

第二个题目：

定义：若一堆中仅有1根火柴，称为孤单堆。若大于1根，则称为充裕堆。

定义：T态中，若充裕堆的堆数大于等于2，称为完全利他态，用T2表示，若充裕堆为0，称为部分利他态，用T0表示

不会有T1的存在：因为孤单堆异或只会影响最后一位，一个充裕堆可以影响高位。所以异或和不会为0

 

定理五：S0态，即仅有奇数个孤单堆，必败。T0态必胜

证明：

　　S0态就是每次只能取1根，奇数堆，肯定是自己取的最后一根。必败。

　　同理 ，T0态必胜。

 

定理六：S1态，只要方法正确，必胜

证明：

　　若此时孤单堆为奇数，把充裕堆取完，否则取剩1根。

 

定理七：S2态不可一次变为T0态

证明：

　　充裕堆不可能一次由2变为0

 

定理八：S2态可一次变为T2态

证明：

　　由定理一，S态可变为T态，又由定理七可知，S2态不可一次变为T0态，所以可一次变为T2态(T1不存在)

 

定理九：T2态，只能变为S2态或S1态

证明：

　　由定理二，T态只能变为S态。由于充裕堆不可能一次由2变为0，所以S态不可能为S0态。

 

定理十：S2态，只要方法正确，必胜。

证明：

　　1)  S2态，就变为T2态  （定理八）

　　2）对方只能变为S2态或S1态 （定理九）

　　若变为S2态，继续1）

　　若变为S1态，S1必胜。

 

定理十一：T2态必输。

证明：

　　由定理十易得。

 

总结：对于先取光失败的博弈，必胜态：S2、S1、T0、必败态：S0、T2

 

SG值内容留