博弈论(基础概念+例题)

Posted 2021-08-08 Jozky86

博弈论(b站视频)

文章目录

• 一些概念
• 以Nim游戏为例
• • Nim游戏介绍
  • 定义 必败/必胜局面
  • 必败/必胜局面的判定引理
  • Nim游戏判定引理的等价命题
• 有向图游戏
• 对判定引理的数学描述-Sg函数
• 有向图游戏的和
• 题目：
• • [有向图游戏]
  • [有向图游戏的和]
  • [构造/转化类]

一些概念

以Nim游戏为例

Nim游戏介绍

定义 必败/必胜局面

P-position:先手必败
N-position:先手必胜

例如三堆式子的Nim游戏：

必败/必胜局面的判定引理

Nim游戏判定引理的等价命题

为什么直接异或呢？(看图)

有向图游戏

大部分公平组合游戏都可以转换为有向图游戏
单个有向图游戏的胜负可根据判定引理判定

对判定引理的数学描述-Sg函数

mex：最小的不属于这个集合的自然数
sg(x)=mex{sg(y)|x->y}
必败局面：sg(x) = = 0
必胜局面：sg(x) ! = 0

sg函数验证三条判断引理：
SG函数刻画了三条判定引理的性质

有向图游戏的和

G1，G2…Gn是n个有向图游戏
有SG定理：
sg(G) = sg(G1) ^ sg(G2) ^ … ^ sg(Gn)

题目：

[有向图游戏]

DAG图上dfs:sg(x)=mex{sg(y)|x->y},也可以直接用判定引理，复杂度O(N+M)，如果N是一两百，可以直接爆搜
找规律(类nim游戏）
P1247 取火柴游戏
P1290 欧几里得的游戏
P1288 取数游戏II
CF917B MADMAX

[有向图游戏的和]

求单个游戏的sg值，xor起来，不能直接使用判断引理，需要求出sg的具体值
sg定理：sg（G）=sg(G1) ^ sg(G2) ^ … ^ sg(Gn)
P2575 高手过招
Acwing 219 剪纸游戏
Acwing 235魔法珠

[构造/转化类]

P1199 三国游戏
Acwing 236.格鲁吉亚和鲍勃