《Mathematical Olympiad——组合数学》——操作和游戏

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了《Mathematical Olympiad——组合数学》——操作和游戏相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

  这篇文章,我们开始对奥数中有关操作和游戏的问题进行分析和讨论,其实在信息学竞赛中涉及到的一些博弈问题(分析必胜策略)的问题(例如巴什博弈、尼姆博弈),本质上来讲,就是组合数学当中的组合游戏,并不是真正意义上的博弈论。

  下面就让我们来看看,这蕴藏着“必胜策略”的组合游戏到底有着怎样的玄机。

 

  问题一:两个人交替地在黑板上写从1~1000的自然数,第一个人在黑板上写的数是1,然后,在黑板上写的数要么是2a,要么是a+1,其中,a是已经写在黑板上的数,且在黑板已经写过的数不允许再写,首先在黑板上写下1000的人获胜,问:谁有获胜策略?

  分析:首先我们应该考虑到,两个聪明的游戏者都不会去写500和999,而更重要的是,也不会去写501.为什么呢?500和999就不用说了,对于501,由于它是奇数,只能通过a+1来写出,也就是说,当且仅当黑板上有500这个数字,某个玩家才能写出501,但这显然是不合理的决策,通过500明明可以直接赢嘛,因此,我们考虑除1000、999、500、501四个数字以外的996个数字的构造情况。

  我们可以看到,将996分为498组:(1,2)、(3、4)……,每当先手写下一个数字a,那么后手就写一个数字a+1,这样一来,两个聪明的决策者会依次写完这996个数字,而后手写完第996个数字,先手就必须在500、999当中选择其一(写不出501),必败。

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