《Mathematical Olympiad——组合数学》——操作和游戏

Posted 2020-07-08 黑大帅之家

  这篇文章，我们开始对奥数中有关操作和游戏的问题进行分析和讨论，其实在信息学竞赛中涉及到的一些博弈问题(分析必胜策略)的问题(例如巴什博弈、尼姆博弈)，本质上来讲，就是组合数学当中的组合游戏，并不是真正意义上的博弈论。

  下面就让我们来看看，这蕴藏着“必胜策略”的组合游戏到底有着怎样的玄机。

 

  问题一：两个人交替地在黑板上写从1~1000的自然数，第一个人在黑板上写的数是1，然后，在黑板上写的数要么是2a，要么是a+1，其中，a是已经写在黑板上的数，且在黑板已经写过的数不允许再写，首先在黑板上写下1000的人获胜，问：谁有获胜策略？

  分析：首先我们应该考虑到，两个聪明的游戏者都不会去写500和999，而更重要的是，也不会去写501.为什么呢？500和999就不用说了，对于501，由于它是奇数，只能通过a+1来写出，也就是说，当且仅当黑板上有500这个数字，某个玩家才能写出501，但这显然是不合理的决策，通过500明明可以直接赢嘛，因此，我们考虑除1000、999、500、501四个数字以外的996个数字的构造情况。

  我们可以看到，将996分为498组：(1,2)、(3、4)……，每当先手写下一个数字a，那么后手就写一个数字a+1，这样一来，两个聪明的决策者会依次写完这996个数字，而后手写完第996个数字，先手就必须在500、999当中选择其一(写不出501)，必败。