含参不等式的解法主要是二次不等式

Posted 2021-01-03 wanghai0666

一、二次不等式

(fbox{例1}) (数字系数的二次不等式)

解关于(x)的不等式(-x^2+4x-3 ge 0)

(fbox{例2}) (含参数的二次不等式，一动根一静根)

解关于(x)的不等式((x-2)[x-(3a+1)]<0)

(fbox{例3}) (含参数的二次不等式，两动根)

解关于(x)的不等式(x^2-cfrac{a}{2}x-cfrac{a^2}{2}<0)

分析：将原不等式等价转化为((x-a)(x+cfrac{a}{2})<0)，令((x-a)(x+cfrac{a}{2})=0)，则方程的两个根为(x=-cfrac{a}{2})和(x=a)，下来根据这两个动根的大小分类讨论

当(-cfrac{a}{2}<a)时，即(a>0)时，不等式的解集为((-cfrac{a}{2}，a))；

当(-cfrac{a}{2}=a)时，即(a=0)时，不等式的解集为(varnothing)；

当(-cfrac{a}{2}>a)时，即(a<0)时，不等式的解集为((a，-cfrac{a}{2}))；

(fbox{例4}) (含参数的二次不等式，两动根)

解关于(x)的不等式(x^2-(a^2+a)x+a^3leq 0)

分析：将原不等式等价转化为((x-a^2)(x-a)leq 0)，其对应方程的两个根为(x=a^2)和(x=a)，分类讨论如下：

(1^{circ}) 当(a^2>a)，即(a<0)或(a>1)时，解集为([a，a^2])；

(2^{circ}) 当(a^2=a)，即(a=0)或(a=1)时，解集为({0，1})；

(3^{circ}) 当(a^2<a)，即(0<a<1)时，解集为([a^2，a])；

综上所述，当(a<0)或(a>1)时，解集为([a，a^2])；当(a=0)或(a=1)时，解集为({0，1})；当(0<a<1)时，解集为([a^2，a])；

(fbox{例5}) (含参数的二次不等式，两动根)

解关于(x)的不等式(cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0).

分析：

当(a=1)时，

当(a eq 1)时，

二、能转化为含有参数的二次不等式

设函数(f(x)=cfrac{1}{2}{x^2}+aln(1+x))．

（Ⅰ）讨论(f(x))的单调性；

【分析】（Ⅰ）利用导数转化为求解含有参数a的不等式，给导函数的分子配方就能找到分类讨论的标准。

【解答】（Ⅰ）导数法研究单调性，先求出定义域((-1，+infty))，

(f'(x)=x+cfrac{a}{x+1}=cfrac{x(x+1)+a}{x+1})

(=cfrac{x^2+x+a}{x+1})

(=cfrac{(x+cfrac{1}{2})^2+a-cfrac{1}{4}}{x+1})，

①当(a≥cfrac{1}{4})时，(f'(x)≥0)恒成立，且当(a=cfrac{1}{4})时仅仅在(x=-cfrac{1}{2})处取到等号，故函数(f(x))在((-1，+∞))上单调递增；

②当(a<cfrac{1}{4})时，令(x^2+x+a=0)，得到(x=cfrac{-1±sqrt{1-4a}}{2})，接下来将其中的小根和-1作比较，

当(-1<cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2})时，即(0<a<cfrac{1}{4})时，

(xin (-1，cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2}))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

(xin(cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2}，cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减，

(xin(cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}，+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

当(-1=cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2})时，即(a=0)时，(xin (-1，cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减，(xin(cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}，+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

当(-1>cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2})时，即(a<0)时，(xin(-1，cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减，(xin(cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}，+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

综上所述，当(a≥cfrac{1}{4})时，函数(f(x))的单调递增区间为((-1，+∞))，无单调递减区间；

当(0<a<cfrac{1}{4})时，单调递增区间为((-1，cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2}))和((cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}，+infty))，单调递减区间为((cfrac{-1-sqrt{1-4a}}{2}，cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}))；

当(a≤0)时，单调递减区间为((-1，cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}))，单调递增区间为((cfrac{-1+sqrt{1-4a}}{2}，+infty))；

三、关于二次不等式的恒成立问题

角度一 形如(f(x)ge 0(f(x)leq 0)(xin R))型的不等式确定参数范围

(fbox{例3})(2017铜川模拟)不等式(a^2+8b^2ge lambda b(a+b))对于任意的(a，bin R)恒成立，则实数(lambda)的取值范围为_____________。

法1：(将(b)和(lambda)看做系数)将不等式转化为(a^2-lambda ba+8b^2-lambda b^2ge 0)对任意的(ain R)恒成立，则(Delta =b^2lambda^2-4(8b^2-lambda b^2)=b^2(lambda^2+4lambda-32)leq 0)，解得(-8leq lambda leq 4)。

法2：当(b=0)时，即(a^2ge 0)恒成立，(lambdain R)；

当(b eq 0)时，原不等式等价于((cfrac{a}{b})^2+8ge lambda (cfrac{a}{b})+lambda)，令(cfrac{a}{b}=tin R)，即(t^2-lambda t+8-lambdage 0)对任意的(tin R)恒成立，则(Delta =(lambda)^2-4(8-lambda)leq 0)，解得(-8leq lambda leq 4)。

综上所述(两种情况取交集)，实数(lambda)的取值范围为(-8leq lambda leq 4)。

角度二 形如(f(x)ge 0(xin[a，b]))型的不等式确定参数范围

(fbox{例4}) 设函数(f(x)=mx^2-mx-x(m eq 0))，若对于(xin [1，3])，(f(x)<-m+5)恒成立，求(m)的取值范围。

法1：利用二次函数求解，要使(f(x)<-m+5)恒成立，即(mx^2-mx+m-6<0)，即(m(x-cfrac{1}{2})^2+cfrac{3}{4}x-6<0)在(xin[1,3])上恒成立，令(g(x)=m(x-cfrac{1}{2})^2+cfrac{3}{4}x-6,xin [1,3])，
当(m>0)时，(g(x))在([1,3])上是增函数，所以(g(x)_{max}=g(3)=7m-6<0), 解得(m<cfrac{6}{7})，则有(0<m<cfrac{6}{7})；
当(m<0)时，(g(x))在([1,3])上是减函数，所以(g(x)_{max}=g(1)=m-6<0), 解得(m<6)，则有(m<0)；
综上所述，(m)的取值范围是((-infty,0)cup(0,cfrac{6}{7}))。
法2：分类参数法，因为(x^2-x+1>0)，由(f(x)<-m+5)可得(m(x^2-x+1)-6<0)，故有(m<cfrac{6}{x^2-x+1})恒成立，
又因为函数(y=cfrac{6}{x^2-x+1}=cfrac{6}{(x-cfrac{1}{2})^2+cfrac{3}{4}})在区间([1,3])上的最小值为(cfrac{6}{7}),故只需(m<cfrac{6}{7})即可，
又因为(m eq 0)，所以(m)的取值范围是((-infty,0)cup(0,cfrac{6}{7}))。

角度三 形如(f(x)ge 0(参数min[a，b]))型的不等式确定参数范围

(fbox{例5})已知(ain[-1,1])时不等式(x^2+(a-4)x+4-2a>0)恒成立，则(x)的取值范围是多少？
分析：主辅元换位，把不等式的左端看成关于(a)的一次函数，记为(f(a)=(x-2)a+x^2-4x+4)，则由(f(a)>0)对于任意的(ain[-1,1])恒成立，只需(egin{cases}f(-1)>0\\f(1)>0end{cases})即可，即(egin{cases}x^2-5x+6>0\\x^2-3x+2>0end{cases})，解得(x<1)或(x>3)，则(x)的取值范围是((-infty,1)cup(3,+infty)).

四、对应练习：

1、(2017新余模拟)不等式(x^2-2x+5ge a^2-3a)对任意实数(x)恒成立，则实数(a)的取值范围是
分析：令(a^2-3a=A)，(x^2-2x+5=f(x))，则转化为(f(x)ge A)对任意实数恒成立，即需要求解(f(x)_{min});

2、已知不等式(x^2-2x+a>0)对任意实数(xin[2,3])恒成立，则实数(a)的取值范围是___________.

分析：分离参数得到(a>-x^2+2x)对任意实数(xin[2,3])恒成立，即需要求函数(f(x)=-x^2+2x,xin[2,3])的(f(x)_{max}),(f(x)=-(x-1)^2+1,xin[2,3]),故(f(x)_{max}=f(2)=0)，则得到(a>0).

3、已知函数(f(x)=-x^2+ax+b^2-b+1(ain R,bin R)),对任意实数(x)都有(f(1-x)=f(1+x))成立，若当(xin[-1,1])时，(f(x)>0)恒成立，则(b)的取值范围是_____________.

分析：先由(f(1-x)=f(1+x))得到，二次函数的对称轴(x=-cfrac{a}{-2}=1)，解得(a=2)，

故题目转化为(-x^2+2x+b^2-b+1>0)对任意(xin [-1,1])恒成立，

用整体法分离参数，得到(b^2-b>x^2-2x-1)对任意(xin[-1,1])恒成立。

令(g(x)=x^2-2x-1，xin[-1,1])，需要求函数(g(x)_{max})；

(g(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2，xin[-1，1])，故(g(x))在区间([-1，1])上单调递减，则(g(x)_{max}=g(-1)=2)，

故(b^2-b>2)，解得(b<-1)或(b>2)。