多元一次不等式方程组怎样解最方便 如:f(a,b,c,d)=a+b+c+d; 其中a+b
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了多元一次不等式方程组怎样解最方便 如:f(a,b,c,d)=a+b+c+d; 其中a+b相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
参考技术A f(a,b,c,d)=a+b+c+d=[(a+b)+(a+c)+(a+d)+(b+c)+(b+d)+(c+d)]/3≤(x0+x1+x2+x3+x4+x5)/3;浅谈Cauchy不等式
形式
[ sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2 geq sum_{i=1}^{n}a_i^{2}b_i^2 ]
等号成立的条件:
[
iff:b_i=0 || exists k in mathbb {R},a_i=k cdot b_i(i in mathbb{N^+})
]
证明
法一:参数配方
思路:巧妙的把常数与方程结合起来,利用性质即可。
证明:
构造函数:
[
f(t)=sum_{i=1}^{n}b_i^2cdot t^2-2sum_{i=1}^{n}a_ib_it+sum_{i=1}^{n}a_i^2
]
化简函数:
[
f(t)=sum_{i=1}^{n}b_i^2cdot t^2-2sum_{i=1}^{n}a_ib_it+sum_{i=1}^{n}a_i^2
]
[ =sum_{i=1}^{n}(b_i^2t^2-2a_ib_it+a_i^2) ]
[ =sum_{i=1}^{n}(b_i^2t^2+a_i^2-2a_ib_it) ]
[ =sum_{i=1}^{n}(b_it-a_i)^2 ]
所以:
[
f(t) geq 0
]
[ Delta t=b^2-4ac ]
[ =4sum_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2-4 imes sum_{i=1}^{n}b_i^2 imes sum_{i=1}^{n}a_i^2 leq 0 ]
所以:
[
4sum_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2 leq 4 imes sum_{i=1}^{n}b_i^2 imes sum_{i=1}^{n}a_i^2
]
[ sum_{i=1}^{n}a_i^2 imes sum_{i=1}^{n}b_i^2 geq sum_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2 ]
证毕。
因为:
[
f(t)=sum_{i=1}^{n}(b_it-a_i)^2
]
令(f(t)=0),即
[
a_i=b_it
]
此时:
[
f(t)_{min}=0?
]
即:
[
Delta t leq 0
]
故等号可取的一个充分条件即为:
[
exists k in mathbb {R},a_i=k cdot b_i(i in mathbb{N^+})
]
法二:均值不等式证明
思路:运用分析法将原式子化简,使用绝对值三角不等式与均值不等式进行证明。
引用到的均值不等式(证明略):
[
ab leq frac{a^2+b^2}{2}
]
适用条件:
[
a,b in mathbb {R^+}
]
等号成立条件:
[
iff:a=b
]
证明:
要证:
[
sum_{i=1}^{n}a_i^2sum_{i=1}^{n}b_i^2 geq sum_{i=1}^{n}a_i^{2}b_i^2
]
开方得:
[
sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2} geq |sum_{i=1}^{n}a_ib_i|
]
只需证:
[
|sum_{i=1}^{n}a_ib_i| leq sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2}
]
[ frac{|sum_{i=1}^{n}a_ib_i|}{sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2}}leq 1 ]
由绝对值三角不等式:
[
|a_1+a_2+a_3+cdots+a_n| leq |a_1|+|a_2|+|a_3|+ cdots + |a_n|
]
可得:
[
|sum_{i=1}^{n}a_ib_i| leq sum_{i=1}^{n}|a_ib_i|
]
所以:
[
frac{|sum_{i=1}^{n}a_ib_i|}{sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2}} leq frac{sum_{i=1}^{n}|a_ib_i|}{sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2}}
]
又因为:
[
frac{sum_{i=1}^{n}|a_ib_i|}{sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2}}
]
[ =sum_{i=1}^{n}frac{|a_i|}{sqrt{sum_{i=1}^{n}a_i^2}}cdot frac{|b_i|}{sqrt{sum_{i=1}^{n}b_i^2}} ]
由均值不等式:
[
ab leq frac{a^2+b^2}{2}
]
可得:
[
sum_{i=1}^{n}frac{|a_i|}{sqrt{sum_{i=1}^{n}a_i^2}}cdot frac{|b_i|}{sqrt{sum_{i=1}^{n}b_i^2}}
]
[ leq frac{1}{2}cdot sum_{i=1}^{n}(frac{a_i^2}{sum_{i=1}^{n}a_i^2}+ frac{b_i^2}{sum_{i=1}^{n}b_i^2}) ]
[ leq frac{1}{2}cdot (frac{sum_{i=1}^{n}a_i^2}{sum_{i=1}^{n}a_i^2}+ frac{sum_{i=1}^{n}b_i^2}{sum_{i=1}^{n}b_i^2}) ]
[ leq frac{1}{2} imes 2 = 1 ]
即:
[
frac{|sum_{i=1}^{n}a_ib_i|}{sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2}}leq 1
]
[ |sum_{i=1}^{n}a_ib_i| leq sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2} ]
[ sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2} geq |sum_{i=1}^{n}a_ib_i| ]
[ sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2 geq sum_{i=1}^{n}a_i^{2}b_i^2 ]
证毕。
法三:n维向量证法
因为:
[
|vec a cdot vec b| leq |vec a|cdot |vec b|
]
所以:
[
|vec a cdot vec b|^2 leq |vec a|^2cdot |vec b|^2
]
(vec a,vec b)为(n)维向量时,用坐标的形式展开即可证明。
当(vec a=kvec b),即(a),(b)共线时,等号成立。
申明与感谢
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