最大子矩阵和

Posted 2020-12-03 mini-coconut

求一个M*N的矩阵的最大子矩阵和。找出在矩阵中，所有元素加起来之和最大的子矩阵
比如在如下这个矩阵中：
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2 
拥有最大和的子矩阵为：
9 2
-4 1
-1 8
其和为15。

思路：首先我们考虑如果是一维数组，我们要找到其中的最大子段和，应该怎么做。我们要记录从头到当前位置的最大字段和的值，如何计算这个值呢。比如第n个位置处的最大字段和，就是比较下第n-1位置处（前n-1个的最大字段和）的值，与当前位置的值。一共有两种情况：第一种情况是前n-1个的最大字段和加上当前值比较大，另一种情况是当前值比较大。我们都可以根据最大子段和问题的递推公式是 b[j]=max{b[j-1]+a[j], a[j]}，b[j] 指的是从0开始到j的最大子段和。假设原始矩阵为：[9， 2， -6， 2]， 那么b[] = {9, 11, 5, 7}, 那么最大字段和为11， 如果找最大子矩阵的话，那么这个子矩阵是 [9， 2]。

int maxSubsequence(int arr[],int length)
{  
            if (length== 0) {  
                return 0;  
            }  
            int max = INT_MIN;  
            int *maxSub = new int[length];  
            maxSub[0] = arr[0];  
              
            for (int i = 1; i < length; i++) {  
                maxSub[i] = (maxSub[i-1] > 0) ? (maxSub[i-1] + arr[i]) : arr[i];   
                if (max < maxSub[i]) {  
                    max = maxSub[i];  
                }  
            }  
            return max;  
}

如果是二维的情况，就变成了最大子矩阵了。为了能够找出最大的子矩阵，我们需要考虑所有的情况。假设这个子矩阵是 2 *k, 也就是说它只有两行，要找出最大子矩阵，我们要从左到右不断的遍历才能找出在这种情况下的最大子矩阵。如果我们把这两行上下相加，情况就和求“最大子段和问题” 又是一样的了。

为了找出在原始矩阵里的最大子矩阵，我们要遍历所有的子矩阵的可能情况，也就是说，我们要考虑这个子矩阵有可能只有1行，2行，。。。到n行。而在每一种情况下，我们都要把它所对应的矩阵部分上下相加才求最大子矩阵（局部）。

为了能够在原始矩阵里很快得到从 i 行到 j 行 的上下值之和，我们这里用到了一个辅助矩阵，它是原始矩阵从上到下加下来的。

total矩阵就是我们的辅助矩阵，total[i][j]表示从i行到j行的和

int total[4][4];  
memcpy(&total[0][0],&matrix[0][0],64); //新建total辅助矩阵，用原始矩阵初始化
for (int i = 1; i < 4; i++)//4表示矩阵的行数
 {  
    for (int j = 0; j < 4; j++) //4表示矩阵的列数
    {  
        total[i][j] += total[i-1][j]; //将矩阵的对应每列从上到下加下来
    }  
}  

如果我们要求第 i 行到第 j 行之间上下值的和，我们可以通过total[j][k] - total[i-1][k] 得到,k对应的是第k列

int subMaxMatrix(int matrix[4][4]) //这里直接传原始矩阵
{  
              
    int total[4][4];  
    memcpy(&total[0][0],&matrix[0][0],64);//建立辅助矩阵并初始化
    for (int i = 1; i < 4; i++)
     {  
        for (int j = 0; j < 4; j++) 
        {  
            total[i][j] += total[i-1][j]; //将矩阵的每一列从上到下加起来
        }  
    }  
              
    int maximum =INT_MIN;  
    for (int i = 0; i < 4; i++)
    {  
        for (int j = i; j < 4; j++) 
        {  
        //result 保存的是从 i 行 到第 j 行 所对应的矩阵上下值的和  
            int* result = new int[4];  
            for (int f = 0; f < 4; f++)
            {  
                if (i == 0) 
                    result[f] = total[j][f];//第一行就是本身 
                else  
                    result[f] = total[j][f] - total[i - 1][f]; //其他行要减去起始行的结果才行，这样才是从起始行到该行的元素和
            }  
            int maximal = maxSubsequence(result,4);//求每个小矩阵对应一维数组的最大字段和
            if (maximal > maximum)
                maximum = maximal;  
        }  
    }            
    return maximum;  
}