最大连续子数组和算法(动态规划解释)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了最大连续子数组和算法(动态规划解释)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

之前在其他博客看到了,但是算法的关键部分完全看不懂为什么要这么做,直到最近上算法课,才终于知道到底怎么来的。

问题描述:

  给出一个数组,求其最大连续子数组和

  例:数组{1,2,3,4,-5,10,-1,-1}的最大连续子数组和是子数组{1,2,3,4,-5,10}的和15

算法过程:

  这个算法能从零直接想出来的人是真的厉害,我并不可以,所以我直接描述一下这个算法是怎么算的,而不描述怎么想到的了

  首先我们把原来数组记做a,然后最关键的一步,我们需要一个等长的数组b,b[j]的含义是以下一系列和中的最大值

a[0] + a[1] + a[2] + a[3] + … + a[j]
       a[1] + a[2] + a[3] + … + a[j]
              a[2] + a[3] + … + a[j]
                     a[3] + … + a[j]
                            ……
                                a[j]

那么显然可以知道的是,b数组中的最大值,就是我们想要的a的最大连续子数组和。

接下来就是要得到数组b,初始化的话,b[0]应该为0和a[0]之中的较大者,下面探讨b[j]和b[j+1]之间的关系:

  b[j+1]只有两种取法,第一种是b[j]+a[j+1],注意b[j]本身就是最大值,所以不用再去考虑b[j]内部的情况了,第二种是a[j+1],所以

  b[j+1] = max{ b[j]+a[j+1], a[j+1] }

OK,到此这个算法其实就算完成了,下面是直接根据这个思路打的代码:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main() {
    int a[] = {1,2,3,4,-5,10,-1,-1};  // 原数组
    int* b = (int*)malloc(sizeof(a)); // 数组b,和原数组等长

    // 初始化
    b[0]= a[0] > 0 ? a[0] : 0;

    // 遍历构造,注意i的边界
    int length = sizeof(a) / sizeof(int); // 数组长
    for (int i = 0; i < length - 1; i++) {
        b[i+1] = b[i] + a[i+1] > a[i+1] ? b[i] + a[i+1] : a[i+1];
    }

    // 然后找出b中的最大值
    int max = b[0];
    for (int i = 1; i < length; i++)
        if (b[i] > max)
            max = b[i];

    printf("max=%i
", max);
    return 0;
}

  然后导致我一直看不懂的地方来了,对上面这段代码进行编程上的优化,优化主要有两个地方,

  首先在上面的分析中,b[n+1]只和当前遍历到的a[n+1]和前一个b[n]直接相关,所以其实并不需要保存整个数组b,换用一个变量就可以了,其次是最大值,也是可以一遍遍历一边改的

  于是就有了目前网络上流传最多的以下这种代码:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main() {
    int a[] = {1,2,3,4,-5,10,-1,-1};  // 原数组
    int max = 0;
    int b = 0;

    int length = sizeof(a) / sizeof(int); // 长度
    for (int i = 0; i < length; i++) {
        b = b + a[i] > a[i] ? b + a[i] : a[i];
        max = max > b ? max : b;
    }

    printf("max=%i
", max);
    return 0;
}

显然这个算法是o(n)时间复杂度的,讲真最近学动态规划基本o(n^3)起步。动态规划两个基本要素,首先最优子结构性质,全局最大值基于n个子问题b的最优解,而且可以看到b[j+1]是基于b[j]给出的,也就是一个问题是基于他的子问题的最优解来解决的,其次显然子问题是有交叉的,求解b[j]需要b[j-1],递归一下就需要b[j-2],由此就出现了交叉。

PS:LeetCode上题号53 最大子序和就是这个问题,但是貌似子数组长度不为0,所以初始化会有一点变化。

以上是关于最大连续子数组和算法(动态规划解释)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

最大子序和 --动态规划

[Leetcode]9. 连续子数组的最大和(动态规划)

动态规划最大子序和

算法(动态规划):连续子数组的最大和

LeetCodeLeetCode之乘积最大子数组——枚举+动态规划+Kadane算法

剑指offer(C++)-JZ85:连续子数组的最大和(算法-动态规划)