剑指offer(C++)-JZ85：连续子数组的最大和(算法-动态规划)

Posted 2022-11-01 翟天保Steven

作者：翟天保Steven
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题目描述：

输入一个长度为n的整型数组array，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组，找到一个具有最大和的连续子数组。

1.子数组是连续的，比如[1,3,5,7,9]的子数组有[1,3]，[3,5,7]等等，但是[1,3,7]不是子数组

2.如果存在多个最大和的连续子数组，那么返回其中长度最长的，该题数据保证这个最长的只存在一个

3.该题定义的子数组的最小长度为1，不存在为空的子数组，即不存在[]是某个数组的子数组

4.返回的数组不计入空间复杂度计算

数据范围:

1<=n<=105

−100<=a[i]<=100

要求:时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)

进阶:时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)

示例：

输入：

[1,2,-3,4,-1,1,-3,2]

返回值：

[1,2,-3,4,-1,1]

说明：

经分析可知，最大子数组的和为4，有[4],[4,-1,1],[1,2,-3,4],[1,2,-3,4,-1,1]，故返回其中长度最长的[1,2,-3,4,-1,1] 

解题思路：

本题考察算法-动态规划算法的使用。用两种动态规划的解法。

解法一：使用常规的动态规划思路：用一个vector-dp存储到各个下标时的最大连续子数组和，进行一轮遍历，若dp[i-1]+array[i]比array[i]大，说明到前一下标为止的最大连续子数组，可以把当前下标纳入到该连续子数组中；反之，则以array[i]为新的起点，继续向后扩展连续子数组；与此同时，动态刷新最大值maxsum。在上述过程中，注意还要刷新连续子数组的左右区间位置信息。

解法二：对空间复杂度进行优化：常规解法使用vector来记录各个下标的最大连续子数组和，但本题目的要求并没有需要读取vector中信息，因此该vector可以优化掉。用x代替dp[i-1]，相当于当前下标前的最大连续子数组和，其他的同解法一一致，这样vector的空间就节省下来了。在上述过程中，注意还要刷新连续子数组的左右区间位置信息。

测试代码：

解法一：动态规划

class Solution 
  public:
    vector<int> FindGreatestSumOfSubArray(vector<int>& array) 
        vector<int> res;
        // 记录到下标i为止的最大连续子数组和
        vector<int> dp(array.size(), 0);
        dp[0]= array[0];
        int maxsum = dp[0];
        // 记录当前连续子数组的左右区间
        int left = 0, right = 0;
        // 记录最大连续子数组的左右区间
        int maxl = 0, maxr = 0;
        for (int i = 1; i < array.size(); i++) 
            right++;
            // 确定到当前下标为止时的连续子数组和最大值
            dp[i] = max(dp[i - 1] + array[i], array[i]);
            // 若当前值本身超过已知最大连续子数组，则刷新左区间位置
            if (dp[i - 1] + array[i] < array[i])
                left = right;
            
            // 刷新最大值
            // x如果比之前的最大值大，则刷新
            // 一样大时，还要判断下左右区间的长度，取长度大的刷新
            if (dp[i]  > maxsum || (dp[i]  == maxsum && (right - left + 1) > (maxr - maxl + 1))) 
                maxsum = dp[i] ;
                maxl = left;
                maxr = right;
            
        
        // 获取最大且最长的连续子数组
        for (int i = maxl; i <= maxr; i++)
            res.push_back(array[i]);
        return res;
    
;

解法二：动态规划进阶

class Solution 
  public:
    vector<int> FindGreatestSumOfSubArray(vector<int>& array) 
        vector<int> res;
        // 记录到下标i为止的最大连续子数组和
        int x = array[0];
        int maxsum = x;
        // 记录当前连续子数组的左右区间
        int left = 0, right = 0;
        // 记录最大连续子数组的左右区间
        int maxl = 0, maxr = 0;
        for (int i = 1; i < array.size(); i++) 
            right++;
            // 确定到当前下标为止时的连续子数组和最大值
            // 若当前值本身超过已知最大连续子数组，则刷新左区间位置
            if (x + array[i] < array[i])
                left = right;
                x = array[i];
            
            else
                x = x + array[i];
            
            // 刷新最大值
            // x如果比之前的最大值大，则刷新
            // 一样大时，还要判断下左右区间的长度，取长度大的刷新
            if (x > maxsum || (x == maxsum && (right - left + 1) > (maxr - maxl + 1))) 
                maxsum = x;
                maxl = left;
                maxr = right;
            
        
        // 获取最大且最长的连续子数组
        for (int i = maxl; i <= maxr; i++)
            res.push_back(array[i]);
        return res;
    
;