由切线放缩导出常见函数不等式
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了由切线放缩导出常见函数不等式相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
首先，我们知道泰勒公式
将 \\(f(x)=e^x\\) 在 \\(x=0\\) 处展开可以得到
截取前两项可以得到
此即狭义上的切线放缩。
类似地，截取前三项可以得到
将 \\(f(x)=e^x\\) 在 \\(x=1\\) 处展开并截取前几项可以得到
对于 \\(\\ln(x+1)\\)， \\(\\sin x\\)， \\(\\cos x\\)，我们可以通过类似操作获得
根据现有不等式，经过代换可以得到新的不等式。
将 \\(\\refineq6\\) 中 \\(x\\) 换为 \\(x-1\\) 有
将 \\(\\refineq8\\) 中 \\(x\\) 换为 \\(\\dfrac1x\\) 有
将 \\(\\refineq3\\) 中 \\(x\\) 换为 \\(\\dfracxe\\) 并取对数
此外，利用定积分的保号性也可以得到新的不等式。
在 \\(\\refineq9\\) 两边同时积分
结果可以得到
依据事实 \\(\\dfrac2x < 1+\\dfrac1x^2\\)，两边同时积分得到
值得说明的是，\\(\\refineq11\\) 与 \\(\\refineq12\\) 与 \\(ALG\\) 不等式是等价的。
用 \\(\\sqrtx\\) 代换 \\(x\\) 可以简单地加强
我们使用泰勒公式建立不等式时实质上是用多项式对函数进行拟合。除此之外，我们也可以用分式，或者同时用多项式和分式对函数进行拟合，得到更精确的不等式，此即帕德逼近和洛朗级数，此处不展开讲。
常见不等式考察——Jensen不等式
0. 引言
这两天在看文献的时候，突然注意到文献中使用了Jensen不等式，然后猛地发现似乎太久不看这些东西，都已经忘得差不多了，是时候得好好复习一下这些东西了……
1. Jensen不等式定义
Jensen不等式是针对凸函数的一个常用的不等式，其定义如下：
f ( λ ⋅ x 1 + ( 1 − λ ) ⋅ x 2 ) ≤ λ ⋅ f ( x 1 ) + ( 1 − λ ) ⋅ f ( x 2 ) f(\\lambda \\cdot x_1 + (1-\\lambda)\\cdot x_2) \\leq \\lambda \\cdot f(x_1) + (1-\\lambda)\\cdot f(x_2) f(λ⋅x1+(1−λ)⋅x2)≤λ⋅f(x1)+(1−λ)⋅f(x2)
上述不等式可以由凸函数的定义快速地得到，我们可以将其推广至一般的情况，即下述表达式：
f ( ∑ i = 1 n λ i x i ) ≤ ∑ i = 1 n λ i f ( x i ) f(\\sum_{i=1}^{n} \\lambda_i x_i) \\leq \\sum_{i=1}^{n} \\lambda_i f(x_i) f(i=1∑nλixi)≤i=1∑nλif(xi)
其中， ∑ i = 1 n λ i = 1 \\sum_{i=1}^{n} \\lambda_i = 1 ∑i=1nλi=1。
而如果函数为严格的凹函数，则上述Jensen不等式同样可以成立，但是符号需要反向，即修改为：
f ( ∑ i = 1 n λ i x i ) ≥ ∑ i = 1 n λ i f ( x i ) f(\\sum_{i=1}^{n} \\lambda_i x_i) \\geq \\sum_{i=1}^{n} \\lambda_i f(x_i) f(i=1∑nλixi)≥i=1∑nλif(xi)
2. Jensen不等式证明
关于Jensen不等式的证明方法，其实网上已经有了不少的解答，不过基本都是基于数学归纳法的解答。
这里，我们来仿照网上的一些解法来自行进行一下推导。
显然，对于 n ≤ 2 n \\leq 2 n≤2的情况，又凸函数的定义，上述不等式是易得的。
下面，我们假设在 n = k n=k n=k的情况下，不等式成立，则我们考虑 n = k + 1 n = k+1 n=k+1时的情况。
f
(
∑
i
=
1
k
+
1
λ
i
⋅
x
i
)
=
f
(
∑
i
=
1
k
λ
i
⋅
x
i
+
λ
k
+
1
⋅
x
k
+
1
)
=
f
(
(
1
−
λ
k
+
1
)
⋅
(
∑
i
=
1
k
λ
i
1
−
λ
k
+
1
⋅
x
i
)
+
λ
k
+
1
⋅
x
k
+
1
)
≤
(
1
−
λ
k
+
1
)
⋅
f
(
∑
i
=
1
k
λ
i
1
−
λ
k
+
1
⋅
x
i
)
+
λ
k
+
1
⋅
f
(
x
k
+
1
)
≤
(
1
−
λ
k
+
1
)
⋅
(
∑
i
=
1
k
λ
i
1
−
λ
k
+
1
⋅
f
(
x
i
)
)
+
λ
k
+
1
⋅
f
(
x
k
+
1
)
=
∑
i
=
1
k
λ
i
⋅
f
(
x
i
)
+
λ
k
+
1
⋅
f
(
x
k
+
1
)
=
∑
i
=
1
k
+
1
λ
i
⋅
f
(
x
i
)
\\begin{aligned} f(\\sum_{i=1}^{k+1} \\lambda_i \\cdot x_i) & = f(\\sum_{i=1}^{k} \\lambda_i \\cdot x_i + \\lambda_{k+1} \\cdot x_{k+1}) \\\\ & = f((1-\\lambda_{k+1})\\cdot (\\sum_{i=1}^{k} \\frac{\\lambda_i}{1-\\lambda_{k+1}} \\cdot x_i) + \\lambda_{k+1} \\cdot x_{k+1}) \\\\ & \\leq (1-\\lambda_{k+1})\\cdot f(\\sum_{i=1}^{k}\\frac{\\lambda_i}{1-\\lambda_{k+1}} \\cdot x_i) + \\lambda_{k+1} \\cdot f(x_{k+1}) \\\\ & \\leq (1-\\lambda_{k+1}) \\cdot (\\sum_{i=1}^{k}\\frac{\\lambda_i}{1-\\lambda_{k+1}} \\cdot f(x_i)) + \\lambda_{k+1} \\cdot f(x_{k+1}) \\\\ & = \\sum_{i=1}^{k} \\lambda_i \\cdot f(x_i) + \\lambda_{k+1} \\cdot f(x_{k+1}) \\\\ & = \\sum_{i=1}^{k+1} \\lambda_i \\cdot f(x_i) \\end{aligned}
f(i=1∑k+1λi⋅xi)=f(i=1∑kλi⋅xi+λk+1⋅xk+1)=f((1−λk+1)⋅(i=1∑k1−λk+1λi⋅xi)+λk+1⋅xk+1)≤(1−λk+1)⋅f(i=1∑k1−λk+1λi⋅xi)+λk+1⋅f(xk+1)≤(1−< 以上是关于由切线放缩导出常见函数不等式的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章