一道三角函数式的取值范围问题的深度探索
Posted 数海寻珍
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了一道三角函数式的取值范围问题的深度探索相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
【题目】已知sinx+siny=1,求cosx+cosy的取值范围.
【探索1】联系到同角三角函数关系，我们可以平方再消元.
那么，我们还有别的解决方案吗？
【探索2】要将一次关系式转化为二次关系式，我们可以考虑用柯西不等式放缩再消元.
【探索3】构造向量用三角不等式解决.
【评注】因为sinx+siny=1,所以sinx,siny均在[0,1]内且x,y相互制约，以上三种解答中我们仅能保证取得最值时条件成立，并不能保证取遍所得范围中的每个值.
我们有没有办法能够确定cosx+cosy能取遍该取值范围呢？
【探索4】利用和差化积公式变形，换元后变量分离.
【评注】不同于以上三种探索中我们通过平方消元，探索4中我们用和差化积公式变形后得到两个整体变量，换元后即求得新元α的范围，那么，原问题就转化为了关于新元α的三角函数求值域，那么就可以保证cosx+cosy能取遍中的每所得范围中的每个值了.
以上是关于一道三角函数式的取值范围问题的深度探索的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章