放缩法初级中阶辅导

Posted 2021-02-01 wanghai0666

一、放缩法：

二、常见的放缩公式：

三、和放缩法常常相关联的方法：

四、典例剖析：

有空再编辑。

是学生感觉比较难的数学内容之一，记住以下的常见变形是很有效的。

由于((n-1)(n-1)<n(n-1)<n^2<n(n+1)<(n+1)(n+1))，

故由倒数法则得到

(cfrac{1}{(n+1)(n+1)}<cfrac{1}{n(n+1)}<cfrac{1}{n^2}<cfrac{1}{n(n-1)}<cfrac{1}{(n-1)(n-1)})

(cfrac{1}{(n+1)(n+1)}<cfrac{1}{(n-1)(n+1)}<cfrac{1}{n(n-1)})；

(cfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}<cfrac{1}{2n(2n-1)})；等等。

(fbox{例1})(2017宝鸡中学第一次月考第21题改编)

已知函数满足(f(n)-f(n-1)=4(n-1)，nin N^*)，

①求(f(n))的不等式；

分析：如果能意识到(a_n=f(n))，则应该想到用累加法求解，得到(f(n)=2n^2-2n+1)

②求证：(cfrac{1}{f(1)}+cfrac{1}{f(2)}+cfrac{1}{f(3)}+cdots+cfrac{1}{f(n)}<cfrac{3}{2})；

证明：由于(cfrac{1}{f(n)}=cfrac{1}{2n^2-2n+1}<cfrac{1}{2n^2-2n}=cfrac{1}{2}(cfrac{1}{n-1}-cfrac{1}{n}))

第一项保持不动，(cfrac{1}{f(1)}=1)，

(cfrac{1}{f(2)}<cfrac{1}{2}(cfrac{1}{1}-cfrac{1}{2}))；

(cfrac{1}{f(3)}<cfrac{1}{2}(cfrac{1}{2}-cfrac{1}{3}))；

(cdots)

(cfrac{1}{f(n)}<cfrac{1}{2}(cfrac{1}{n-1}-cfrac{1}{n}))；

故(cfrac{1}{f(1)}+cfrac{1}{f(2)}+cfrac{1}{f(3)}+cdots+cfrac{1}{f(n)})

(=1+cfrac{1}{2}[(1-cfrac{1}{2})+(cfrac{1}{2}-cfrac{1}{3})+cdots+(cfrac{1}{n-1}-cfrac{1}{n})])

(=1+cfrac{1}{2}(1-cfrac{1}{n})=cfrac{3}{2}-cfrac{1}{2n}<cfrac{3}{2})；