函数的零点和极值点2中阶和高阶辅导
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了函数的零点和极值点2中阶和高阶辅导相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
已知函数\\(f(x)=ax^3-3x^2+1\\)，若函数\\(f(x)\\)存在唯一零点 \\(x_0\\)，且\\(x_0>0\\)，则\\(a\\)的取值范围是【C】
法1：由于函数\\(f(x)\\)存在唯一零点 \\(x_0\\)，且\\(x_0>0\\)，
则方程\\(f(x)=0\\)有唯一的正实数解，即\\(ax^3-3x^2+1=0\\)有唯一的正实数解，
即方程\\(a=\\cfrac3x^2-1x^3\\)有唯一的正实数解，
即函数\\(y=a\\)和函数\\(y=h(x)=\\cfrac3x^2-1x^3=\\cfrac3x-\\cfrac1x^3(x>0)\\)有唯一的交点，
其余思路待补充。
法2：先将题目转化为，方程\\(ax^3=3x^2-1\\)有唯一的正实数解，
则静态函数\\(y=3x^2-1\\)和动态函数\\(y=ax^3\\)只能在区间\\((0 ，+\\infty)\\)上有交点，
此处需要我们知道函数\\(y=ax^3\\)的参变数\\(a\\)的作用，
由图像可知，当\\(a\\leq 0\\)时，都不满足题意，故需要\\(a<0\\)，
但当\\(a\\)取很小的负值时，显然满足题意，当\\(a\\)为某一个恰当的负值时，两个曲线在\\(x<0\\)时可能相切，
当然，此处你可能还会认为是有相切，还有相交，这不要紧，我们通过下述的计算就能回答这个疑惑。
设切点坐标为\\(P(x_0，y_0)\\)，则有\\(x_0<0\\)，
则有\\(\\left\\\\beginarrayl3ax_0^2=6x_0\\\\y_0=ax_0^3\\\\y_0=3x_0^2-1\\endarray\\right.\\)
解得\\(x_0=-1\\)，\\(y_0=2\\)，将切点\\(P(-1，2)\\)代入\\(y=ax^3\\)，解得\\(a=-2\\)，
故当\\(a<-2\\)时，两条曲线在\\(x<0\\)上没有交点，只在\\(x>0\\)上有交点，故满足题意，
即\\(a\\)的取值范围时\\((-\\infty，-2)\\)，故选\\(C\\)。
法3：利用导数方法，同时注意题目的隐含条件，\\(f(0)=1\\)，
\\(f'(x)=3ax^2-6x=3x(ax-2)\\)，
①当\\(a=0\\)时，原函数为\\(y=-3x^2+1\\)，有两个零点，不符合题意，舍去。
②当\\(a>0\\)时，由导函数的图像可知，函数\\(f(x)\\)在区间\\((-\\infty，0)\\)上单调递增，在区间\\((0，\\cfrac2a)\\)上单调递减，在区间\\((\\cfrac2a，+\\infty)\\)上单调递增，
此时函数在区间\\((-\\infty，0)\\)上必有一个零点，不符合题意，舍去。
③当\\(a<0\\)时，由导函数的图像可知，函数\\(f(x)\\)在区间\\((-\\infty，\\cfrac2a)\\)上单调递减，在区间\\((\\cfrac2a，0)\\)上单调递增，在区间\\((0，+\\infty)\\)上单调递减，
此时只需要函数\\(f(x)\\)的极小值大于零即可，即\\(f(\\cfrac2a)>0\\)，
即\\(a\\cdot (\\cfrac2a)^3-3\\cdot (\\cfrac2a)^2+1>0\\)，化简得到\\(a^2>4\\)，
解得\\(a<-2\\)或\\(a>2\\)，又\\(a<0\\)，故\\(a<-2\\)。
即\\(a\\)的取值范围时\\((-\\infty，-2)\\)，故选\\(C\\)。
定义在\\(R\\)上的函数\\(f(x)\\)满足\\(f(x)+f(x+4)=16\\)，当\\(x\\in (0，4]\\)时，\\(f(x)=x^2-2^x\\)；则函数\\(f(x)\\)在\\([-4，2016]\\)上的零点个数是【B】
分析：由\\(f(x)+f(x+4)=16\\)，得到\\(f(x+4)+f(x+8)=16\\)，两式相减得到，
\\(f(x+8)=f(x)\\)，即\\(T=8\\)；
当\\(x\\in (0，4]\\)时，\\(f(x)=x^2-2^x\\)已经知道，关键是求得\\(x\\in (4，8]\\)上的解析式；
当\\(0<x\\leq 4\\)，\\(4<x+4\\leq 8\\)，
故\\(f(x+4)=16-f(x)\\)，令\\(x+4=t\\)，则\\(x=t-4\\)，则\\(t\\in (4，8]\\)
故\\(f(t)=16-f(t-4)\\)，\\(t\\in (4，8]\\)
即\\(f(x)=16-f(x-4)\\)，\\(x\\in (4，8]\\)
则周期函数\\(f(x)=\\left\\\\beginarraylx^2-2^x，0<x\\leq 4\\\\16-(x-4)^2-2^x-4，4<x\\leq 8\\endarray\\right.\\)
接下来的难点是做函数\\(f(x)\\)在一个周期上的图像，
重点是做\\(y=x^2-2^x，0<x\\leq 4\\)的图像。
结合上图可以做出函数\\(y=x^2-2^x，0<x\\leq 4\\)的图像。
再做出\\(x\\in (4，8]\\)时的\\(f(x)\\)的图像。
在区间\\([0，2016]\\)上，包含\\(\\cfrac20168=252\\)个周期，每个周期上的零点有两个，
故有\\(252\\times2=504\\)个，但是在\\([-4，0)\\)上还有一个，
故共有\\(505\\)个零点，故选\\(B\\)。
分析：函数\\(f(x)\\)的零点问题，转化为函数\\(y=|2^x-1|\\)与\\(y=k\\)的图像交点的横坐标问题，同理，函数\\(g(x)\\)的零点问题，转化为函数\\(y=|2^x-1|\\)与\\(y=\\cfrack2k+1\\)的图像交点的横坐标问题，
又由于\\(y=\\cfrack2k+1=\\cfrac12+\\frac1k\\)，在\\(k\\in [\\cfrac13，1)\\)上单调递增，即当\\(k\\)的取值从\\(\\cfrac13\\)增大到\\(1\\)时，\\(\\cfrack2k+1\\)的取值对应的从\\(\\cfrac15\\)增大到\\(\\cfrac13\\)，
做出如下的图像，从图像入手分析，当\\(y=k\\)向上平移时，\\(x_2-x_1\\)逐渐增大，同理对应的\\(x_4-x_3\\)逐渐增大，所以要使得\\(x_4+x_2-(x_3+x_1)\\)取到最小值，则需要\\(x_4-x_3\\)和\\(x_2-x_1\\)同时取到最小值，此时\\(k=\\cfrac13\\)，同时对应的有\\(\\cfrack2k+1=\\cfrac15\\)；
此时，\\(|2^x_2-1|=\\cfrac13\\)，即\\(2^x_2-1=\\cfrac13\\)，解得\\(x_2=log_2\\cfrac43\\)，又\\(|2^x_1-1|=\\cfrac13\\)，即\\(1-2^x_1=\\cfrac13\\)，解得\\(x_1=log_2\\cfrac23\\)，
同理对应的有\\(|2^x_4-1|=\\cfrac15\\)，即\\(2^x_4-1=\\cfrac15\\)，解得\\(x_4=log_2\\cfrac65\\)，又\\(|2^x_3-1|=\\cfrac15\\)，即\\(1-2^x_3=\\cfrac15\\)，解得\\(x_3=log_2\\cfrac45\\)，
故此时\\([x_4+x_2-(x_3+x_1)]_min=(log_2\\cfrac65-log_2\\cfrac45)+(log_2\\cfrac43-log_2\\cfrac23)=log_23\\)，故选\\(B\\)。
解后反思：比如将条件更改为\\(\\cfrac13\\leq k\\leq \\cfrac45\\)，那么用相应的思路和方法，可以求解\\(x_4+x_2-(x_3+x_1)\\)的取值范围；
分析：本题目的难点之一是利用代换法先求得函数\\(f(x)\\)的解析式；然后再求正实数\\(m\\)的取值范围。
由于任意不等正数\\(x_1\\)、\\(x_2\\)，有\\([f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0\\)，则\\(f(x)\\)在\\((0，+\\infty)\\)上单调递增，
令\\(f(x)-lnx=t\\)，则\\(f(t)=1\\)①，又由于\\(f(x)-lnx=t\\)，即\\(f(x)=lnx+t\\)，令\\(x=t\\)，则\\(f(t)=lnt+t\\)②，
由①②可知，\\(lnt+t=1\\)，即\\(lnt=1-t\\)，观察可知，\\(t=1\\)，即函数\\(f(x)\\)的解析式为\\(f(x)=lnx+1\\)；
接下来，用常规方法求正实数\\(m\\)的取值范围。
由题目可知，\\(g(x)=lnx+1+\\cfrac1x-m^2+m\\)有两个不同的零点，即方程\\(lnx+1+\\cfrac1x-m^2+m=0\\)有两个不同的根，
整体分离参数得到，\\(m^2-m=lnx+1+\\cfrac1x\\)，令\\(h(x)=lnx+1+\\cfrac1x\\)，
则\\(h'(x)=\\cfracx-1x^2\\)，则\\(x\\in (0，1)\\)时，\\(h'(x)<0\\)，\\(h(x)\\)单调递减，\\(x\\in (1，+\\infty)\\)时，\\(h'(x)>0\\)，\\(h(x)\\)单调递增，
故\\(h(x)_min=h(1)=2\\)，则题目转化为\\(m^2-m>2\\)，解得\\(m<-1\\)或\\(m>2\\)，又由\\(m>0\\)，可得\\(m>2\\)，
即正实数\\(m\\)的取值范围是\\((2，+\\infty)\\).
分析：函数\\(f(x)\\)有两个极值点，则方程\\(f'(x)=0\\)有两个不同实根，且是变号实根；
即\\(f'(x)=2(a+1)e^2x-2e^x+(a-1)=0\\)有两个不同实根，令\\(e^x=t>0\\)，
则方程\\(2(a+1)t^2-2t+(a-1)=0\\)有两个不同的正实根，
则其必然满足\\(\\left\\\\beginarrayl\\Delta=4-4\\times2(a^2-1)>0\\\\-\\cfrac-22\\times 2(a+1)>0\\\\\\cfraca-12(a+1)>0\\endarray\\right.\\)，解得\\(\\left\\\\beginarrayl-\\cfrac\\sqrt62<a<\\cfrac\\sqrt62\\\\a>1\\\\a<-1或a>1\\endarray\\right.\\)，
则\\(1<a<\\cfrac\\sqrt62\\)。故选\\(B\\)。
分析：\\(f'(x)=x+(a-e)-\\cfracaex=\\cfracx^2+(a-e)x-aex=\\cfrac(x+a)(x-e)x\\)，
做出分子函数的简图，由图可知，\\(-a>e\\)，解得\\(a<-e\\)，故选\\(D\\)。
法1：分析：本题目需要先做出函数的图像，如下图所示，同时要明白参数\\(a\\)的作用，
存在实数\\(b\\)，使得函数\\(g(x)=f(x)+b\\)有两个零点，意味着直线\\(y=-b\\)与分段函数\\(f(x)\\)的两段都有交点，
情形一，两段函数都是单调的，此时需要\\(a^2+2a<a^3\\)，解得\\(a>2\\)或者\\(-1<a<0\\)；
情形二，第二段函数不单调，此时需要\\(a<-1\\)；
综上所述，\\(a\\in (-\\infty，-1)\\cup(-1，0)\\cup(2，+\\infty)\\)，故选\\(A\\)。
法2：做出分段函数的图像，使用排除法，令\\(a=\\cfrac32\\)，和\\(a=-\\cfrac12\\)验证，可以排除\\(B\\)，\\(C\\)，\\(D\\)，故选\\(A\\)。
解后反思：①将题目中的条件“存在实数\\(b\\)，使得函数\\(g(x)=f(x)+b\\)有两个零点”更改为函数\\(f(x)\\)是单调递增的函数，则\\(a\\)的取值范围为\\(\\a\\mid a=-1或0\\leq a\\leq 2\\\\)；
②将题目中的条件“存在实数\\(b\\)，使得函数\\(g(x)=f(x)+b\\)有两个零点”更改为函数\\(f(x)\\)不是单调递增的函数，则\\(a\\)的取值范围为\\(\\a\\mid a<-1或-1<a<0或 a>2\\\\)；
分析：转化为方程\\(a=x^2-2lnx+2\\)在\\(x\\in [\\cfrac1e，e]\\)内有两个根，
即函数\\(y=a\\)和函数\\(y=g(x)=x^2-2lnx+2\\)在\\(x\\in [\\cfrac1e，e]\\)内有两个交点，
\\(g'(x)=2x-\\cfrac2x=\\cfrac2(x-1)(x+1)x\\)，则在\\([\\cfrac1e，1]\\)上单调递减，在\\([1，e]\\)上单调递增，
又\\(g(1)=3\\)，\\(g(\\cfrac1e)=4+\\cfrac1e^2\\)，\\(g(e)=e^2>4+\\cfrac1e^2\\)，
做出示意图，可知实数\\(a\\)的取值范围为\\(a\\in (3，4+\\cfrac1e^2]\\)
分析：方程\\(a=\\cfrac2x^3+1x^2=g(x)\\)在\\((0，+\\infty)\\)内有且只有一解，
即函数\\(y=g(x)\\)与\\(y=a\\)在\\((0，+\\infty)\\)内有且只有一个交点，
用数形结合求得\\(a=3\\)，然后用常规方法求得最值即可。
分析：待解答
以上是关于函数的零点和极值点2中阶和高阶辅导的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章