函数的单调性初级和中阶辅导

Posted 2021-01-10 wanghai0666

一、函数的单调性还可能以什么形式给出来？

1、直接给出；

如函数在区间([a，b])单调递增；

2、以定义式给出；

如给出函数(f(x))在区间(D)上满足(forall x_1，x_2in D，x_1<x_2，f(x_1)<f(x_2))，

则意味着函数(f(x))在区间(D)上单调递增；

3、以定义的变形形式给出；

如单调递增以积式的形式给出：

如给出函数(f(x))在区间(D)上满足(forall x_1，x_2in D，(x_1-x_2)cdot(f(x_1)-f(x_2))<0)

则意味着函数(f(x))在区间(D)上单调递减；

4、以定义的变形形式给出；

如单调递增以商式的形式给出：

如给出函数(f(x))在区间(D)上满足(forall x_1，x_2in D，cfrac{f(x_1)- f(x_2)}{x_1-x_2}>0)

则意味着函数(f(x))在区间(D)上单调递增；

5、以“单调+奇偶”的综合形式给出；

如给出函数(f(x))在区间(D)上满足：(cfrac{f(x_1)+ f(x_2)}{x_1+x_2}>0)，且函数(f(x))为奇函数，

则可知(-f(-x_2)=f(x_2))，代换得到(cfrac{f(x_1)- f(-x_2)}{x_1-(-x_2)}>0)，

再令(-x_2=x_3)，即(cfrac{f(x_1)- f(x_3)}{x_1-x_3}>0)，

即函数(f(x))在区间(D)上单调递增；

6、 以图像的形式给出；(给出(f(x))图像或者(f'(x))的图像，要会读斜率)

比如给出(f(x))图像，需要会解读图像，给出(f'(x))的图像，要会通过(f'(x))的正负解读单调性；

7、函数单调性的性质应用；

结论①：函数(f(x)、g(x))是增(减)函数，则(f(x)+g(x))为增(减)函数；

注意，此处不是用复合函数的“同增异减”来判断，而是利用单调性的定义可以证明的。

结论②：已知函数(f(x)、g(x))是增(减)函数，同时又已知(f(x)>0，g(x)>0)，则有(f(x)cdot g(x))是增（减）函数；

已知函数(f(x)、g(x))是增（减）函数，同时又已知(f(x)<0，g(x)<0)，则有(f(x)cdot g(x))是减（增）函数；

8、以复合函数的形式给出单调性；

(fbox{例1})(2017凤翔中学高三理科第二次月考第9题)
若函数(f(x)=log_a^;(6-ax))在([0，2])上为减函数，则实数(a)的取值范围是【】

A、([3，+infty)) (hspace{2cm}) B、((0，1)) (hspace{2cm}) C、((1，3]) (hspace{2cm}) D、 ((1，3))

分析：令(g(x)=6-ax)，像这类题目既要考虑单调性，还要考虑定义域。

由题目可知必有(a>0)，故函数(g(x))单调递减，考虑定义域时只要最小值(g(2)>0)即可，

再考虑外函数必须是增函数，故(a>1)，

结合(g(2)>0)，解得(1<a<3)，故选D。

9、以分段函数的形式给出单调性

(fbox{例0})(已知分段函数的单调性，求参数的取值范围)

已知(a>0)，函数(f(x))满足(f(x)=egin{cases} (3-a)x-3 &xleq 7 \\ a^{x-6} &x>7 end{cases})，函数(f(x))在(R)上单调递增，求(a)的取值范围。

分析：由题目可知，(egin{cases} &3-a>0 \\ &a>1 \\ &(3-a)7-3leq a^{7-6}end{cases})；

即就是(egin{cases}&a<3 \\ &a>1 \\ &age cfrac{9}{4}end{cases})

解得：(ain[cfrac{9}{4}，3))；

10、以赋值法的形式给出单调性；

如定义在(R)上的函数(f(x))满足(f(x+y)=f(x)+f(y))，且(x >0)时，(f(x)<0)，判定函数单调性。

分析：令(x_1> x_2)，则(x_1-x_2>0)，故(f(x_1-x_2)<0)，

则有$ f(x_1) = f(x_1-x_2+x_2) = f(x_1-x_2)+f (x_2) < f( x_2) $，

故函数(f(x))在(R)上单调递减。

11、以导数的形式给出，

如函数在区间([a，b])满足(f'(x)ge0)(只在有限个点处使得(f'(x)=0))

12、以积函数的形式给出，

如((x-1) cdot f'(x)>0)，则可知(left{egin{array}{l}{x-1>0}\\{f'(x)>0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{x-1<0}\\{f'(x)<0}end{array} ight.)

即可知，当(x>1)时，(f'(x)>0)，即函数(f(x))在区间((1，+infty))上单调递增；

当(x<1)时，(f'(x)<0)，即函数(f(x))在区间((-infty，1))上单调递减；

同理可以理解表达式((x^2-3x+2)cdot f'(x)>0)。

13、以导函数的整体或部分形式给出(更难些)，

比如题目给出当(x>0)时满足条件(xf'(x)-f(x)<0)，则是告诉我们需要构造新函数，同时能知道新函数的单调性；

分析：构造(g(x)=cfrac{f(x)}{x})，则当(x>0)时，

则(g'(x)=cfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}<0)，

即新函数(g(x))在区间((0，+infty))上单调递减。

• 函数单调递增或递减的五种代表形式：逐渐增大型，逐渐减少型，恒定不变型，先慢后快型，先快后慢型。

二、典例剖析：

【引例01】(f(x))是偶函数，当(xin(-infty，0))时，(f(x)+xf'(x)<0)成立，比较(2f(2)，3f(3)，5f(5))的大小。

分析：构造(g(x)=xcdot f(x))，(g(x))为奇函数，当(xin(-infty，0))时，(f(x)+xf'(x)<0)成立，则(g'(x)=f(x)+xf'(x)<0)，故由单调和奇偶性可知(g(x))在((0，+infty))上单调递减。大小比较就容易了。

【引例02】已知函数(f(x)=x^3-2ax+1)在区间([2，5])上(underline{单调递增})，求参数(a)的取值范围。

分析：(f'(x)ge 0)在区间([2，5])上恒成立，

即(3x^2-2age 0)在区间([2，5])上恒成立，

分离参数得到，(2aleq 3x^2)在区间([2，5])上恒成立，

即(2aleq [3x^2]_{min}=12)，

即(aleq 6)。

(fbox{例3})(构造函数+大小比较)

(2017(cdot)河南平顶山一模)已知(f(x))是定义在((0，+infty))上的函数，对任意两个不相等的正数(x_1，x_2)，都有(cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0)，记(a=cfrac{f(3^{0.2})}{3^{0.2}})，(b=cfrac{f(0.3^2)}{0.3^2})，(c=cfrac{f(log_25)}{log_25})，则（）

A.(a<b<c) (hspace{2cm}) B.(b<a<c) (hspace{2cm}) A.(c<a<b) (hspace{2cm}) A.(c<b<a)

分析：注意到(a，b，c)的结构，由题目猜想：要构造的函数是(g(x)=cfrac{f(x)}{x})，那么是否正确，以下做以验证。

令(0<x_1<x_2)，则由单调性定义的等价形式可得，

(cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=cfrac{cfrac{f(x_1)}{x_1}-cfrac{f(x_2)}{x_2}}{x_1-x_2}=cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)})

由题目，对任意两个不相等的正数(x_1，x_2)，都有(cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0)，

则可知(cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}>0)，即函数(g(x)=cfrac{f(x)}{x})是单调递增的，

故题目需要我们比较(g(3^{0.2}))，(g(0.3^2))，(g(log_25))这三个的大小关系，只需要比较自变量的大小就可以了；

由于(1=3^0<3^{0.2}<3^{0.5}=sqrt{3}<2)，(0<0.3^2=0.09<1)，(log_25>log_24=2)，

故(g(0.3^2)<g(3^{0.2})<g(log_25))，即(b<a<c)。