各种不等式的解法收集初级辅导和中级辅导

Posted 2020-12-04 wanghai0666

高三数学学习的第一课----不等式的解法

1.一元二次不等式

• 1.1 数字系数的一元二次不等式，如(x^2<3)，(x^2+2x<0)，(x^2-3x+2<0)

• 1.2 字母系数的一元二次不等式，如(x^2-(a+a^2)x+a^3<0.(a eq0))

• 1.3 能转化为一元二次不等式，如((x^2-3x+2)cdot(x+1)<0，2^{x^2-x}<4)，

如果能理解不等式中的(x)的内涵，(xRightarrow 代数式)，则可以解决诸如这样的不等式，((2^x)^2-3cdot 2^x+2<0)，或者((log_2^{;; x})^2-3cdot log_2^{;;x}+2<0)

2.高次不等式

• 2.1 高次不等式，如((3x^2-2x+1)cdot(x^2-1)<0)

• 2.2 分式不等式，如(cfrac{2x^2-3x+1}{x-2}>0)；(cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}>0)

3.绝对值不等式

• 3.1 基本类型，如 (|x-1|<0 ，2<|x+3|<3)

• 3.2 带有两个绝对值符号的不等式，如(|x+1|+|x-2|<3)

• 3.3 带有两个绝对值符号的不等式的求解，如(|x-2|ge |2x+1|)

• 3.4 带有两个绝对值符号的不等式的转化，如(|x-2|ge |y-4|(xin [1，2]))

• 3.5 带有双层绝对值符号的不等式的转化，如(|2|x|-1|leq 1)

4.对数不等式

• (log_2^{,,x}<1)，(log_2^{,,(x-2)}<log_2^{(2x+1)})， (log_2^{,,(x+1)}<2.5)

5.指数不等式

• (2^x>3)，(3^{x^2+3x-1}<(cfrac{1}{3})^{2x-1})，(e^x>2)
• (81 imes3^{2x}ge (cfrac{1}{9})^{x+2})
• (2^{2x+2}+3 imes2^x-1ge 0)

6.三角不等式

• (2sinx>1)，(3sinx+4cosx<2)，(2cos(2x+cfrac{pi}{3})<1)

• 求函数(y=lg sinx+sqrt{cos2x+frac{1}{2}})的定义域。

7.分段函数不等式

8.抽象函数不等式

9.排列数组合数不等式

(egin{cases} C_{10}^r2^{10-r} ge C_{10}^{r-1}2^{11-r} \\ C_{10}^r2^{10-r}ge C_{10}^{r+1}2^{9-r} end{cases})

10.利用图像解不等式

函数(f(x))是周期为4的偶函数，当(xin[0，2])时，(f(x)=x-1)，求不等式(xcdot f(x)>0)在([-1，3])上的解集。

法1：自己作图如右，读图即可解答，解集为((-1，0)cup(1，3))；

法2：利用积的符号法则求解，原不等式等价于(egin{cases}x>0\\f(x)>0end{cases})或(egin{cases}x<0\\f(x)<0end{cases})，

解关于(x)的不等式(lnx>1-x)；

分析：你应该能感觉到，这个题目用我们平常的那种解法(代数解法)已经不能做出来了，因为它不是我们熟悉的那种代数不等式，而是超越不等式，这时候就需要我们借助图像来求解。

比如分别作出两个函数(y=lnx)和(y=1-x)的图像观察求解，如右图所示，解集为((1，+infty))；

同类题目：解关于(x)的不等式(2^x>1-x)；解集为((0，+infty))；：解关于(x)的不等式(log_2^x>cfrac{2}{x})；解集为((2，+infty))；

补充：导函数的不等式。

11.综合运用（指能转化为解不等式的问题）

(fbox{例1})
函数(f(x)=cfrac{ln(x+3)}{sqrt{1-2^x}})的定义域是((-3，0)).

(fbox{例2})
若函数(f(x)=-x^2+2ax)与(g(x)=(a+1)^{1-x})在区间([1，2])上都是减函数，求(a)的取值范围；

分析：函数(f(x))开口向下，对称轴是(x=a)，必须满足(aleq 1)；函数(g(x))是指数型函数，必须满足(a+1>0)且(a+1 eq 1)且(a+1>1)，求交集得到(0<aleq 1).

(fbox{例3})
已知函数(f(x)=egin{cases}x^2+4x，&xge0\\4x-x^2，&x<0end{cases})，若(f(2-a^2)>f(a))，求实数(a)的取值范围。

分析：自行作图，结合分段函数(f(x))的大致图像可知，(f(x))在(R)上单调递增，故由(f(2-a^2)>f(a))，可直接脱掉符号(f)，得到(2-a^2>a)，解得(-2<a<1).

(fbox{例4})
已知函数(f(x)=cfrac{ax+b}{x}cdot e^x，a、bin R，a>0)，

(1).若函数(f(x))在(x=1)处取到极值(cfrac{1}{e})，试求函数(f(x))的解析式和单调区间；

提示：(f'(-1)=0，f(1)=cfrac{1}{e})，分别求得(a-2b=0)和(a-b=1)，联立求得(a=2，b=1)；则(f(x)=cfrac{2x+1}{x}cdot e^x)；

求解单调区间，实质就是解不等式(f'(x)=cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}>0)和(f'(x)=cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}<0)，此时可以通过穿根法解分式不等式。((-infty，-1)和(cfrac{1}{2}，+infty))单调递增；((-1，0)和(0，cfrac{1}{2}))单调递减；

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(fbox{延伸阅读})

1、穿根法的前世今生

2、三角不等式的解法

3、代数不等式，超越不等式

• 超越函数((Transcendental Functions))是指变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如对数函数(y=log_2^x)，反三角函数如(y=arcsinx)，指数函数如(y=2^x)，三角函数如(y=sinx)等就属于超越函数，它们属于初等函数中的初等超越函数。对数和指数函数即为超越函数的例子。超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数。

• 非超越函数则称为代数函数。代数函数的例子包括多项式和平方根函数.

• 超越不等式和代数不等式

不等式两边的函数,如果都是代数函数,则称这个不等式为代数不等式；如果至少有一个是超越函数,则称这个不等式为超越不等式．前者可以划分为有理不等式(整式不等式和分式不等式)和无理不等式；后者包括指数不等式、对数不等式、三角不等式和反三角不等式等。