一元二次方程根的分布中级和高阶辅导

Posted 2020-12-04 wanghai0666

$color{Blue}{一元二次方程根的分布}$

在高中数学一元二次不等式教学中，经常用到“三个二次”的关系解题，如求解一元二次方程根的分布问题。

1、 什么是“三个二次”的关系？

他们指的是一元二次函数(f(x)=ax^2+bx+c(a eq 0))，和其对应的一元二次方程(ax^2+bx+c=0(a eq 0))，以及其对应的一元二次不等式(ax^2+bx+c>0(<0,leq 0,ge 0)(a eq 0))，由于这三个数学对象都是二次的，故称“三个二次”。

2、怎么理解“三个二次”的关系？

从右图来看，所给的是一元二次函数(f(x)=ax^2+bx+c(a> 0))的图像，

(color{Red}{函数Longrightarrow 方程})，她和(x)轴的交点对应的函数值(f(x)=0)，故函数和(x)轴的交点的图像其实就对应一元二次方程(ax^2+bx+c=0(a eq 0))，那两个点可以理解为方程的“形”，那两个点的横坐标就是方程的形所对应的“数”；

(color{Red}{函数Longrightarrow 不等式})，(x)轴下方的图像对应的函数值(f(x)<0)，故其对应的不等式为(ax^2+bx+c<0)；(x)轴上方的图像对应的函数值(f(x)>0)，故其对应的不等式为(ax^2+bx+c>0)，

【引例】已知不等式(ax^2-bx-1ge 0)的解集是([-cfrac{1}{2}，-cfrac{1}{3}])，求不等式(x^2-bx-a<0)的解集。

分析：由题目已知条件可知，方程(ax^2-bx-1= 0)的两个根是(x=-cfrac{1}{2})和(x=-cfrac{1}{3}])，故由韦达定理可知((-cfrac{1}{2})+(-cfrac{1}{3})=-cfrac{-b}{a}=cfrac{b}{a})，((-cfrac{1}{2}) imes(-cfrac{1}{3})=cfrac{-1}{a})，解得(a=-6，b=5)，故所求解集的不等式即为(x^2-5x+6<0)，解得(2<x<3)，故(xin (2，3))。

【引例】已知二次函数(f(x)>0)解集({xmid x<1或x>3}),求(f(log_2^;x)<0)的解集。

分析：由三个二次的关系可知，(f(x)<0)的解集为({xmid 1<x<3})，故由(f(log_2^;x)<0)可得，(1<log_2^;x<3)，即(log_2;2<log_2^;x<log_2;8)，故(2<x<8)；

3、具体怎么用“三个二次”的关系解题？

其一：用图像解不等式，比如(x)轴下方的图像向(x)轴作正射影，得到区间((x_1，x_2))，故不等式为(ax^2+bx+c<0)的解集为((x_1，x_2))；(x)轴上方的图像向(x)轴作正射影，得到区间((-infty，x_1))和区间((x_2，+infty))，故不等式为(ax^2+bx+c>0)的解集为((-infty，x_1)cup (x_2，+infty))，

其二：利用图像确定方程的根的分布，如下例题。

(fbox{例1})如果方程(x^2+(m-1)x+m^2-2=0)的两个实根一个小于(-1)，另一个大于(1)，那么实数(m)的取值范围是(（qquad）)。

法1：如果你想到用求根公式表达出(x_1<-1)，(x_2>1)，这样的思维往往也没有错，但是思维的层次就有点低了，因为仅仅想到用数来表达，而没有想到借助形来简化运算，况且转化后得到的是无理不等式，求解过程本身就很复杂。

法2：我们一般利用其对应函数的图像来控制方程根的分布，所以设(f(x)=x^2+(m-1)x+m^2-2)，做出适合题意的函数(f(x))的大致图像，有图像可知，此时只须满足条件：(egin{cases} f(-1)<0 \\ f(1)<0 end{cases})即可，下来解不等式就可以了。即求解(egin{cases}1-(m-1)+m^2-2<0 \\ 1+(m-1)+m^2-2<0 end{cases})，这样的二次不等式的求解应该比法1简单。

(fbox{例2})方程的两个根都大于1，

法1：(错解 )由题知(egin{cases} Delta ge 0 \\ x_1+x_2>2 \\ x_1cdot x_2>1 end{cases})，错在不等式性质的应用上，

(fbox{不等式性质})

同向不等式的可加性：(egin{cases}a>b\\c>dend{cases})是(a+c>b+d)的充分不必要条件，也就是说由(egin{cases}x_1+x_2>2\\x_1cdot x_2>1end{cases})并不能推出本题想要的结果(egin{cases}x_1>1\\x_2>1end{cases})，故这样的解集必然是错误的。

不过我们注意到(egin{cases}a+b>0\\ab>0end{cases})等价于(egin{cases}a>0\\b>0end{cases})，那么把上面的解法稍微做个改进就得到法2：

法2： 分析，变形使用不等式的性质，得到(egin{cases} Delta ge 0 \\ x_1+x_2>2 \\ (x_1-1)cdot (x_2-1)>0 end{cases})

法3： 分析，有对应的函数图像转化得到不等式组，(egin{cases} Delta ge 0 \\ -cfrac{m-1}{2}>1 \\ f(1)>0 end{cases})

(fbox{例3})方程有一个正根和一个负根，

分析：由于函数图像开口向上，故只需要满足(f(0)<0)即可。

(fbox{例4})方程的一个根在区间((1，2))内,另一个根在区间((3，4))内，

分析：做出适合题意的图像，由图可知，须满足条件：(egin{cases} f(1)>0 \\ f(2)<0 \\ f(3)<0 \\ f(4)>0 end{cases})

(fbox{例5})

已知(ain Z),关于(x)的一元二次不等式(x^2-6x+aleq 0)的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的(a)的值之和是多少？

解析：不等式对应方程的根是(x=3pmcfrac{sqrt{36-4a}}{2}(a<9))，故令(f(x)=x^2-6x+a)，

则(f(x))与(x)轴的交点是以3为对称中心的，要使得不等式(x^2-6x+aleq 0)的解集中有且仅有3个整数，

则函数(f(x))的图像和(x)轴必有两个交点，一个在区间((1，2])处，另一个在区间([4，5))处，

要满足题意，则必须有下列不等式组成立(egin{cases} f(1)>0 \\ f(2)leq 0 \\ f(4)leq 0\\ f(5)>0 end{cases}) ，可仿上图理解

解得(5<aleq 8)，又由于(ain Z)，故(a=6、7、8)，所求为21。

(fbox{例6})

已知函数(f(x)=x^2+(2t-1)x+1-2t)，

(1)、求证：对于任意的(tin R)，方程(f(x)-1=0)必有实数根。

法1：证明方程(f(x)-1=0)的(Delta ge 0)；

法2：分解得到(f(x)-1=(x+2t)(x-1))，故(x=1)是其实数根；

(2)、若(cfrac{1}{2}<t<cfrac{3}{4})，求证：函数(f(x))在区间((-1，0))及((0，cfrac{1}{2}))上各有一个零点；

分析：只要能证明(egin{cases}f(-1)>0\\f(0)<0\\f(cfrac{1}{2})>0end{cases})即可。

(fbox{例7})(数学常识)
已知二次方程(ax^2+bx+c=0(a>0))， (令(f(x)=ax^2+bx+c))

(1)、有两个正实根，

从数的角度，有(egin{cases}Delta ge0\\ x_1+x_2=-cfrac{b}{a}>0\\x_1x_2=cfrac{c}{a}>0end{cases})；

从形的角度，有(egin{cases}Delta ge0\\ -cfrac{b}{2a}>0\\f(0)>0end{cases})；

(2)、有两个负实根，

从数的角度，有(egin{cases}Delta ge0\\ x_1+x_2=-cfrac{b}{a}<0\\x_1x_2=cfrac{c}{a}>0end{cases})；

从形的角度，有(egin{cases}Delta ge0\\ -cfrac{b}{2a}<0\\f(0)>0end{cases})；

(fbox{例8})(能转化为根的分布问题)

(2017豫北名校4月联考)设集合(A={xmid x^2+2x-3>0})，集合(B={xmid x^2-2ax-1leq0 ，a>0})，若(Acap B)中恰含有一个整数，则实数(a)的取值范围是

A.((0，cfrac{3}{4})) (hspace{2cm}) B.([cfrac{3}{4}，cfrac{4}{3})) (hspace{2cm}) C.([cfrac{3}{4}，+infty)) (hspace{2cm}) D.((1，+infty))

分析：化简(A=(-infty，-3)cup(1，+infty))，

集合(B)是不能直接求解的，此时我们不适宜从数的角度来表达集合(B)，原因是解集中会含有无理式，这样求解集合会非常麻烦，

怎么办呢，我们采用从形的角度入手分析，

设(f(x)= x^2-2ax-1=(x-a)^2-a^2-1)，对称轴是直线(x=a)，开口向上，

要使得(Acap B)中恰含有一个整数，结合其大致草图(注意所做图像始终是对称的)，我们可以看出这个整数只能是2，如何从形上限制呢？

令(egin{cases}f(2)leq 0\\f(3)>0end{cases})，即(egin{cases}4-4a-1leq 0\\9-6a-1>0end{cases})，

解得(cfrac{3}{4}leq a<cfrac{4}{3})，故选B。

(fbox{例9})(能转化为根的分布问题)

(fbox{到底该考虑哪些因素})

从上面的几个例子我们可以看出，若数形结合则求解难度明显降低了，但是思维的难度取提高了，那么做这类题目我们一般该怎么考虑呢？

1、先定义二次不等式所对应的二次函数(f(x))；

2、做出适合题意的函数图像；

3、将图像所蕴含的数学语言表达出来即可，也就是转化得到不等式组；

4、在转化时常常要考虑的因素有二次项的系数、判别式(Delta)、对称轴、端点值的正负。