数学奥林匹克问题解答：猿辅导初中数学竞赛基础特训营作业题

Posted 2020-08-06 赵胤数学课

猿辅导(点击进入官网)初中数学竞赛基础特训营于2016年8月27-31日在网络上举行，五天课程总计上课人数超过3万人。授课内容包括四个专题：整数的基本性质、抽屉原理初步、方程与不等式及平面几何新讲初步。以下为本次特训营作业题解答。

 

1、$a, b$ 是任意自然数, 试证明: $30\\ \\big{|}\\ \\left[ab(a^4 - b^4)\\right]$. (Hungary)

证明: $$ab(a^4 - b^4) = ab\\left[\\left(a^4 - 1\\right) - \\left(b^4 - 1\\right)\\right]$$ $$= ab\\left[\\left(a^2 + 1\\right)\\left(a^2 - 1\\right) - \\left(b^2 + 1\\right)\\left(b^2 - 1\\right)\\right]$$ $$= ab(a + 1)(a - 1)\\left(a^2 - 4 + 5\\right) - ab(b + 1)(b - 1)\\left(b^2 - 4 + 5\\right)$$ $$= (a - 2)(a - 1)a(a+1)(a + 2)b + 5ab(a + 1)(a - 1) -(b - 2)(b - 1)b(b+1)(b + 2)a - 5ab(b + 1)(b - 1)$$ 而连续三个整数之积可被 $3! = 6$ 整除, 连续五个整数之积可被 $5! = 120$ 整除. 因此上式四项均为30之倍数, 即 $30\\ \\big{|}\\ \\left[ab(a^4 - b^4)\\right]$.

 

2、17个科学家中的每一个和其余科学家都通信, 在他们的通信中共讨论了3个问题, 而且任何两个科学家之间只讨论一个问题. 证明: 至少有3个科学家, 他们互相通信中所讨论的是同一个问题. (IMO)

证明:

类似于第二讲例题10之思考方法.

用点 $A_1$, $A_2$, $\\cdots$, $A_{17}$ 分别表示17个科学家. 3个问题分别用红, 黄, 蓝3种颜色表示之. 任意两点间连接一条线段, 且仅能为红, 黄, 蓝3种颜色之一. 

由抽屉原理, 与$A_1$ 相连接的16条线段中至少有$$\\left[{16 \\over 3}\\right] + 1 = 6$$ 条线段同色.

不妨设线段 $A_1A_2$, $A_1A_3$, $A_1A_4$, $A_1A_5$, $A_1A_6$, $A_1A_7$ 同为红色.

a. 若 $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$, $A_6$, $A_7$ 此6点间存在一条红色线段, 不妨设为 $A_2A_3$, 则 $\\triangle{A_1A_2A_3}$ 为三边均为红色之三角形, 即 $A_1$, $A_2$, $A_3$ 三位科学家讨论的是同一个问题。

b. 若不然, 即 $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$, $A_6$, $A_7$ 此6点间仅能用黄, 蓝染色, 由例10结论可知, 任意六点用两种颜色染色必构成单色三角形. 暨此时结论依然成立.

综上, 至少有3个科学家, 他们互相通信中所讨论的是同一个问题.

 

3、已知关于 $x$ 的方程 $\\displaystyle{5\\over2}x - a = {8\\over5}x + 142$, 且 $a$ 为某些正整数时, 方程的解为正整数, 试求正整数 $a$ 的最小值.

解答: $${5\\over2}x - a = {8\\over5}x + 142 \\Rightarrow {9\\over10}x = a + 142$$ $\\because x,\\ a\\in\\mathbf{N^*}$, $\\therefore\\begin{cases}10\\ \\big{|}\\ x\\\\ \\displaystyle{9\\over10}x = a + 142 \\ge 143 \\end{cases}\\Rightarrow x_\\text{min} = 160$.

故正整数 $a$ 之最小值为2.

 

4、证明不等式: $${1\\over 2^2} + {1\\over 3^2} + \\cdots + {1\\over n^2} < {n-1\\over n}.$$ 证明: $$\\text{左式} < {1\\over 1\\times2} + {1\\over 2\\times3} + \\cdots + {1\\over (n-1)\\cdot n}$$ $$= 1 - {1\\over 2} + {1\\over 2} - {1\\over3} + \\cdots + {1\\over n-1} - {1\\over n}$$ $$= 1 - {1 \\over n} = {n - 1 \\over n} = \\text{右式}.$$

 

5、用共角定理证明三角形中等角对等边: 在 $\\triangle{ABC}$中, 若$\\angle{B} = \\angle{C}$, 则 $AB = AC$.

证明: $$1 = {\\triangle{ABC} \\over \\triangle{ACB}} = {BA\\cdot BC \\over CA\\cdot CB} = {BA \\over CA}\\Rightarrow AB = AC.$$

 

6、用共高定理和共角定理证明三角形内角平分线定理: 点 $P$ 在 $\\triangle{ABC}$ 的 $BC$ 边上, 使得 $\\angle{BAP} = \\angle{CAP}$. 则$${PB\\over PC} = {AB\\over AC}.$$ 证明: $${PB\\over PC} = {\\triangle{PAB}\\over \\triangle{PAC}} = {AB\\cdot AP\\over AP\\cdot AC} = {AB\\over AC}.$$

 

 

 

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