2016猿辅导初中数学竞赛训练营作业题解答-7

Posted 2020-08-17 赵胤数学课

 

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1. 若 $3x^2 - x = 1$, 则 $6x^3 + 7x^2 - 5x + 2016$ 的值是多少?

解答: $$6x^3 + 7x^2 - 5x + 2016 = 2x(3x^2 - x - 1) + 9x^2 - 3x + 2016$$ $$= 9x^2 - 3x + 2016 = 3(3x^2 - x - 1) + 2019 = 2019.$$

 

 

2. 多项式 $2x^2 - 4xy + 5y^2 - 12y + 13$ 的最小值是多少?

解答: $$2x^2 - 4xy + 5y^2 - 12y + 13 = 2(x^2 - 2xy + y^2) + 3(y^2 - 4y + 4)$$ $$= 2(x-y)^2 + 3(y - 2)^2 + 1 \\ge 1.$$ 当且仅当 $x = y = 2$ 时取等号.

因此该多项式的最小值为 $1$.

 

 

3. 若 $x + y + z = a$, $xy + yz + zx = b$, $xyz = c$, 用 $a, b, c$ 表示 $xy^2 + x^2y + yz^2 + y^2z + z^2x + x^2z$.

解答: $$a\\cdot b = (x^2y + xyz + x^2z) + (xy^2 + y^2z + xyz) + (xyz + yz^2 + xz^2)$$ $$= xy^2 + x^2y + yz^2 + y^2z + z^2x + x^2z + 3xyz$$ $$\\Rightarrow xy^2 + x^2y + yz^2 + y^2z + z^2x + x^2z = ab - 3c.$$

 

 

4. 方程 $(x^2 + 3x - 4)^2 + (2x^2 - 7x + 6)^2 = (3x^2 - 4x + 2)^2$ 的解是多少?

解答:

注意到 $(x^2 + 3x - 4) + (2x^2 - 7x + 6) = 3x^2 - 4x + 2$, 因此考虑换元.

令 $x^2 + 3x - 4 = m$, $2x^2 - 7x + 6 = n$, 则 $$m^2 + n^2 = (m + n)^2 \\Rightarrow mn = 0.$$ 由此可得 $$x^2 + 3x - 4 = 0\\Rightarrow (x+4)(x -1) = 0 \\Rightarrow x_1 = -4,\\ x_2 = 1,$$ 或者 $$2x^2 - 7x + 6 = 0 \\Rightarrow (2x - 3)(x - 2) = 0 \\Rightarrow x_3 = {3\\over2},\\ x_4 = 2.$$ 综上, 原方程的解为: $$x_1 = -4,\\ x_2 = 1,\\ x_3 = {3\\over2},\\ x_4 = 2.$$

 

 

5. 设 $x + y = 1$, $x^2 + y^2 = 2$, 求 $x^7 + y^7$ 的值.

解答: $$xy = {1\\over2}\\left[(x+y)^2 - (x^2 + y^2)\\right] = -{1\\over2}$$ $$\\Rightarrow x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = {5\\over2},$$ $$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = {7\\over2}$$ $$\\Rightarrow x^7 + y^7 = (x^3 + y^3)(x^4 + y^4) - x^3y^3(x + y) = {71\\over 8}.$$

 

 

6. 已知 $m, n$ 都是自然数, 且 $m\\ne n$. 求证: 自然数 $m^4 + 4n^4$ 一定可以表示为四个自然数的平方和.

解答: $$m^4 + 4n^4 = (m^2 + 2n^2)^2 - 4m^2n^2$$ $$= (m^2 + 2n^2 + 2mn)(m^2 + 2n^2 - 2mn)$$ $$= \\left[(m+n)^2 + n^2\\right]\\left[(m-n)^2 + n^2\\right]$$ $$= (m+n)^2(m-n)^2 + n^2(m+n)^2 + (m-n)^2n^2 + n^4$$ $$= (m^2 - n^2)^2 + (mn + n^2)^2 + (mn - n^2)^2 + (n^2)^2.$$