2016猿辅导初中数学竞赛训练营作业题解答-8

Posted 2020-08-19 赵胤数学课

 

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1. 若 $a^2 + 2a + 5$ 是 $a^4 + ma^2 + n$ 的一个因式, 那么 $mn$ 的值是多少?

解答:

待定系数法求解.

令 $a^4 + ma^2 + n = (a^2 + 2a + 5)(a^2 + pa + q)$, 则 $$\\begin{cases}p + 2 = 0\\\\ 5 + q + 2p = m\\\\ 5q = n\\\\ 2q + 5p = 0\\end{cases}\\Rightarrow \\begin{cases}p = -2\\\\ q = 5\\\\ m = 6\\\\ n = 25 \\end{cases} \\Rightarrow mn = 150.$$

 

2. 若 $a + b = 10$, $a^3 + b^3 = 100$, 则 $a^2 + b^2 = ?$

解答: $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$ $$= (a + b)\\left[(a + b)^2 - 3ab\\right]$$ $$\\Rightarrow ab = 30$$ $$\\Rightarrow a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 40.$$

 

3. 若多项式 $a^4 + ma^3 + na - 16$ 含有因式 $(a-2)$ 和 $(a-1)$, 则 $mn=?$

解答:

因式定理求解. $$\\begin{cases}f(2) = 16 + 8m + 2n - 16 = 0\\\\ f(1) = 1+ m + n - 16 = 0 \\end{cases}$$ $$\\Rightarrow \\begin{cases}m = -5\\\\ n = 20 \\end{cases}\\Rightarrow mn = -100.$$

 

4. 已知 $a^3 + b^3 + c^3 = a^2 + b^2+ c^2 = a+b+c = 1$, 则 $abc = ?$

解答:

由 $$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$$ 及 $$(a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2) = 0$$ $$\\Rightarrow 1 - 3abc = 1 - (ab + bc + ca) = 1\\Rightarrow abc = 0.$$

 

5. 若 $2a = 6b = 3c$, 且 $ab + bc + ca = 99$, 则 $2a^2 + 12b^2 + 9c^2 = ?$

解答: $$\\begin{cases}a = 3b\\\\ c = 2b \\end{cases} \\Rightarrow 3b^2 + 2b^2 + 6b^2 = 99 \\Rightarrow b^2 = 9.$$ 因此 $$2a^2 + 12b^2 + 9c^2 = 18b^2 + 12b^2 + 36b^2 = 594.$$

 

6. 设 $x - y = 1+m$, $y-z = 1-m$, 则 $x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx = ?$

解答: $$\\begin{cases}x - y = 1 + m\\\\ y - z = 1 - m \\end{cases} \\Rightarrow x - z = 2$$ $$\\Rightarrow x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx = {1\\over2}\\left[(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2\\right]$$ $$= {1\\over2}\\left[(m+1)^2 + (1 - m)^2 + 4\\right] = {1\\over2}(2m^2 + 6)= m^2 + 3.$$