2016猿辅导初中数学竞赛训练营作业题解答-5

Posted 2020-08-15 赵胤数学课

 

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1. 分解因式 $a^3 - 4a^2 + a + 6$.

解答:

令 $f(a) = a^3 - 4a^2 + a + 6$, 其有理根可能为 $\\pm1$, $\\pm2$, $\\pm3$, $\\pm6$.

注意到 $f(a)$ 奇次项与偶次项系数和相等 (等于 $2$), 因此 $f(-1) = 0$. 由综合除法可得: $$a^3 - 4a^2 + a - 6 = (a + 1)(a^2 - 5a + 6) = (a + 1)(a - 2)(a - 3).$$

 

2. 分解因式 $a^4 + 3a^3 - 3a^2 - 11a - 6$.

解答:

令 $f(a) = a^4 + 3a^3 - 3a^2 - 11a - 6$, 其有理根可能为 $\\pm1$, $\\pm2$, $\\pm3$, $\\pm6$.

$f(a)$ 奇次项与偶次项系数和相等 (等于 $-8$), 因此 $f(-1) = 0$. 由综合除法可得: $$a^4 + 3a^3 - 3a^2 - 11a - 6 = (a + 1)(a^3 + 2a^2 - 5a - 6).$$ 注意到第二个括号中奇次项与偶次项系数和相等 (等于 $-4$), 因此 $a+1$ 是其因式, 即 $$a^4 + 3a^3 - 3a^2 - 11a - 6 = (a + 1)(a^3 + 2a^2 - 5a - 6)$$ $$=(a + 1)(a + 1)(a^2 + a - 6) = (a+1)^2(a + 3)(a - 2).$$

 

3. 分解因式 $x^4 - x^3y - 7x^2y^2 + 13xy^3 - 6y^4$.

解答:

将 $x$ 视作主元, 即令 $f(x) = x^4 - x^3y - 7x^2y^2 + 13xy^3 - 6y^4$, 其有理根可能为 $\\pm y$, $\\pm 2y$, $\\pm 3y$, $\\pm 6y$, $\\pm y^2$, $\\pm 2y^2$, $\\cdots$, $\\pm 6y^4$.

验证 $f(y) = y^4 - y^4 - 7y^4 + 13y^4 - 6y^4 = 0$, 因此由综合除法可得 $$x^4 - x^3y - 7x^2y^2 + 13xy^3 - 6y^4 = (x - y)(x^3 - 7xy^2 + 6y^3).$$ 第二个括号中继续以 $x$ 为主元可知 $x - y$ 亦是其因式, 即 $$x^4 - x^3y - 7x^2y^2 + 13xy^3 - 6y^4 = (x - y)(x^3 - 7xy^2 + 6y^3)$$ $$= (x - y)^2(x^2 + xy - 6y^2) = (x - y)^2(x - 2y)(x + 3y).$$

 

4. 已知多项式 $f(x) = x^5 + 3x^4 + 8x^3+ 11x + k$ 能被 $x+2$ 整除, 求 $k$ 的值.

解答:

由因式定理可得 $$f(-2) = -32 + 48 - 64 - 22 + k = 0 \\Rightarrow k = 70.$$

 

5. 设 $f(x) = x^2 + mx + n$ ($m, n$ 都是整数)既是多项式 $x^4 + 6x^2 + 25$ 的因式, 又是多项式 $3x^4 + 4x^2 + 28x + 5$ 的因式, 求 $f(x)$ 及 $f(-1)$.

解答:

考虑作差法解决多项式整除问题.

$$f(x)\\ \\big{|}\\ \\left(x^4 + 6x^2 + 25\\right) \\Rightarrow f(x)\\ \\big{|}\\ 3\\left(x^4 + 6x^2 + 25\\right) = 3x^4 + 18x^2 + 75,$$ $$\\Rightarrow f(x)\\ \\big{|}\\ \\left(3x^4 + 18x^2 + 75\\right) - \\left(3x^4 + 4x^2 + 28x + 5\\right)$$ $$= 14x^2 - 28x + 70 = 14\\left(x^2 - 2x + 5\\right),$$ $$\\Rightarrow f(x) = x^2 + mx + n = x^2 - 2x + 5 \\Rightarrow f(-1) = 8.$$

 

6. 求证: $a - b$, $b-c$, $c-a$ 都是 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ 的因式, 并分解因式.

解答:

将 $a$ 视作主元, 即令 $f(a) = a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b).$

易得 $f(b) = b^2(b - c) + b^2(c - b) + c^2(b - b) = 0$, 即 $a - b$ 是 $f(a)$ 之因式.

同理可得, $b - c$, $c -a$ 均为其因式.

因为原式是三次齐次多项式, 其三个因式均为一次式, 所以设 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = k(a - b)(b - c)(c - a)$ (其中 $k$ 为待定系数),

令 $a = 0$, $b = 1$, $c = 2$ 代入得 $k = -1$. 因此 $$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = -(a - b)(b - c)(c - a).$$