由抽象函数不等式求参数的取值范围题组辅导

Posted 2021-01-05 wanghai0666

(fbox{例1})【用具体函数做个引例】

如，解不等式(log_2(3x+1)>log_2(1-2x))，

分析：由于我们是借助函数(y=log_2x)的单调性来解不等式，

则需要先考虑定义域，以保证让不等式的两端都有意义，

故利用函数的定义域和单调性，可以等价转化得到不等式组：

(left{egin{array}{l}{3x+1>0}\\{1-2x>0}\\{3x+1>1-2x}end{array} ight.)

解得，解集为((0，cfrac{1}{2}))。

(fbox{例2})【引入抽象函数】

已知函数(f(x))的定义域为((0，+infty))，且单调递增，求解不等式(f(3x+1)>f(1-2x))，

分析：如果我们要给本题目的抽象函数找一个依托，那么

(y=log_2x)绝对是个比较好的例子，

故碰到这样的题目，我们需要考虑定义域和单调性，

可以等价转化为(left{egin{array}{l}{3x+1>0}\\{1-2x>0}\\{3x+1>1-2x}end{array} ight.)

解得，解集为((0，cfrac{1}{2}))。

(fbox{例3})【增加难度，抽象函数】

已知奇函数(f(x))的定义域为([-2，2])，且在区间([0，2])单调递增，求解不等式(f(3x+1)>f(1-2x))，

分析：由区间([0，2])单调递增，和奇函数可知，则函数在区间([-2，0])上单调递增，

故函数(f(x))在区间([-2，2])单调递增，

再由定义域和单调性可知

(left{egin{array}{l}{-2leq 3x+1leq 2}\\{-2leq 1-2xleq 2}\\{3x+1>1-2x}end{array} ight.)

解集，略。

说明：定义域上的单调性没有直接给出，需要我们借助奇偶性自行推导。

(fbox{例4})【增加难度，抽象函数】

已知奇函数(f(x))的定义域为([-2，2])，且在区间([-2，2])单调递增，求解不等式(f(3x+1)+f(2x-1)>0)，

分析：先将不等式转化为(f(3x+1)>-f(2x-1))，

由于函数(f(x))为奇函数，则(-f(2x-1)=f[-(2x-1)]=f(1-2x))，

则上述不等式再次转化为(f(3x+1)>f(1-2x))，

再由定义域和单调性可知，原不等式等价于

(left{egin{array}{l}{-2leq 3x+1leq 2}\\{-2leq 1-2xleq 2}\\{3x+1>1-2x}end{array} ight.)

解集，略。

说明：给出的不等式需要我们结合奇偶性，转化为(f(M)>f(N))的形式，以便于能利用单调性。

(fbox{例4})【综合题】

已知函数(f(x)=cfrac{a}{a^2-1}(a^x-cfrac{1}{a^x})(xin R，a>0，a eq 1))

（1）求函数(f(x))的单调性；

（2）若(f(1-m)+f(1-m^2)<0)，求实数(m)的取值范围；

分析：我们先分析函数中的部分，(g(x)=a^x-cfrac{1}{a^x}=a^x-a^{-x})，

故(g(-x)=-g(x))，即函数(g(x))为奇函数，故求解如下，

（1）(f(x)=cfrac{a}{a^2-1}cdot g(x))，

则(f(-x)=cfrac{a}{a^2-1}cdot g(-x)=-cfrac{a}{a^2-1}cdot g(x)=-f(x))，

即函数(f(x))为奇函数，我们先重点分析(xin [0，+infty))上的单调性，

①当(a>1)时，(a^2-1>0)，则(cfrac{a}{a^2-1}>0)，(lna>0)

(f'(x)=cfrac{a}{a^2-1}(a^xcdot lna-a^{-x}cdot (-x)'cdot lna))

(=cfrac{a}{a^2-1}cdot lnacdot (a^x+a^{-x})>0)，

则函数(f(x))在([0，+infty))上单调递增，

由函数为奇函数，则可知(f(x))在((-infty，+infty))上单调递增；

②当(0<a<1)时，(a^2-1<0)，则(cfrac{a}{a^2-1}<0)，(lna<0)

(f'(x)=cfrac{a}{a^2-1}(a^xcdot lna-a^{-x}cdot (-x)'cdot lna))

(=cfrac{a}{a^2-1}cdot lnacdot (a^x+a^{-x})>0)，

则函数(f(x))在([0，+infty))上单调递增，

由函数为奇函数，则可知(f(x))在((-infty，+infty))上单调递增；

综上可知，不论(a)为何值，函数(f(x))在((-infty，+infty))上单调递增；

（2）先将不等式转化为(f(1-m)<-f(1-m^2))，

又函数(f(x))为奇函数，则(-f(1-m^2)=f(m^2-1))，

则(f(1-m)<f(m^2-1))，

由单调性可知，(1-m<m^2-1)，

即(m^2+m-2>0)，

故所求取值范围为((-infty，-2)cup(1，+infty))。