二次不等式恒成立求参数范围

Posted 2021-01-03 wanghai0666

一、关于二次不等式的恒成立问题的类型和处理策略

二、各种类型的具体例题处理

• 角度一 形如(f(x)ge 0(f(x)leq 0)(xin R))型的不等式确定参数范围**

(fbox{例3})(2017铜川模拟)不等式(a^2+8b^2ge lambda b(a+b))对于任意的(a，bin R)恒成立，则实数(lambda)的取值范围为_____________。

法1：(将(b)和(lambda)看做系数)将不等式转化为(a^2-lambda ba+8b^2-lambda b^2ge 0)对任意的(ain R)恒成立，

则(Delta =b^2lambda^2-4(8b^2-lambda b^2)=b^2(lambda^2+4lambda-32)leq 0)，

解得(-8leq lambda leq 4)。

法2：当(b=0)时，即(a^2ge 0)恒成立，(lambdain R)；

当(b eq 0)时，原不等式等价于((cfrac{a}{b})^2+8ge lambda (cfrac{a}{b})+lambda)，

令(cfrac{a}{b}=tin R)，即(t^2-lambda t+8-lambdage 0)对任意的(tin R)恒成立，

则(Delta =(lambda)^2-4(8-lambda)leq 0)，

解得(-8leq lambda leq 4)。

综上所述(两种情况取交集)，实数(lambda)的取值范围为(-8leq lambda leq 4)。

• 角度二 形如(f(x)ge 0(xin[a，b]))型的不等式确定参数范围

(fbox{例4})

设函数(f(x)=mx^2-mx-x(m eq 0))，若对于(xin [1，3])，(f(x)<-m+5)恒成立，求(m)的取值范围。

法1：利用二次函数求解，要使(f(x)<-m+5)恒成立，即(mx^2-mx+m-6<0)，

即(m(x-cfrac{1}{2})^2+cfrac{3}{4}x-6<0)在(xin[1,3])上恒成立，

令(g(x)=m(x-cfrac{1}{2})^2+cfrac{3}{4}x-6,xin [1,3])，

当(m>0)时，(g(x))在([1,3])上是增函数，

所以(g(x)_{max}=g(3)=7m-6<0), 解得(m<cfrac{6}{7})，

则有(0<m<cfrac{6}{7})；

当(m<0)时，(g(x))在([1,3])上是减函数，

所以(g(x)_{max}=g(1)=m-6<0), 解得(m<6)，

则有(m<0)；

综上所述，(m)的取值范围是((-infty,0)cup(0,cfrac{6}{7}))。

法2：分类参数法，因为(x^2-x+1>0)，由(f(x)<-m+5)可得(m(x^2-x+1)-6<0)，

故有(m<cfrac{6}{x^2-x+1})恒成立，

又因为函数(y=cfrac{6}{x^2-x+1}=cfrac{6}{(x-cfrac{1}{2})^2+cfrac{3}{4}})在区间([1,3])上的最小值为(cfrac{6}{7}),

故只需(m<cfrac{6}{7})即可，

又因为(m eq 0)，所以(m)的取值范围是((-infty,0)cup(0,cfrac{6}{7}))。

(fbox{例4-1})

已知函数(f(x)=x^2 +ax-2a≥0)在区间 ([1,5])上恒成立，求参数(a)的取值范围。

(fbox{法1，二次函数法})

①由于(Delta=a^2+8a≤0)时满足题意，解得(-8≤a≤0)，

求得对称轴(x=-cfrac{a}{2})，

再考虑对称轴(x=-cfrac{a}{2})和给定区间([1，5])的相对位置关系

②当(-cfrac{a}{2}≤1)时，即(a≥-2)时，函数(f(x))在区间([1,5])单调递增，

所以(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2a≥0),解得(-2≤a≤1)，又因为(a≥-2)，所以得到(-2≤a≤1)。

③当(-cfrac{a}{2}≥5)时，即(a≤-10)时，函数(f(x))在区间([1,5])单调递减，

所以(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2a≥0)，解得(a≥-cfrac{25}{3})，又因为(a≤-10)，所以得到(ainvarnothing).

④当(1<-cfrac{a}{2}<5),即(-10<a<-2)时，(f(x)_{min}=f(-cfrac{a}{2})=cfrac{a^2}{4}-cfrac{a^2}{2}-2a≥0)，

得到(-8≤a≤0),又(-10<a<-2)，所以(-8≤a<-2)（这种情形可以省略）

综上可得(a)的取值范围是([-8,1])

法2：分离参数法，先转化为((x-2)age -x^2，xin [1，5])

接下来就转化为了三个恒成立的命题了，

当(x=2)时，原不等式即((2-2)age -4)，(ain R)都符合题意；

当(2<x<5)时，原不等式等价于(age cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-cfrac{4}{x-2}-4=g(x))恒成立；

(g(x)=-(x-2)-cfrac{4}{x-2}-4leq 2sqrt{(x-2)cdot cfrac{4}{x-2}}-4=-8)

求得当(x=4)时，(g(x)_{max}=-8)，故(age -8)

当(1<x<2)时，原不等式等价于(aleq cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-cfrac{4}{x-2}-4=g(x))恒成立；

(g(x)=-(x-2)-cfrac{4}{x-2}-4ge 2sqrt{-(x-2)cdot cfrac{-4}{x-2}}-4=0)

当且仅当(x=0)时取到等号，并不满足前提条件(1<x<2)，故是错解。

此时需要借助对勾函数的单调性，函数(y=x+cfrac{4}{x})在区间([1，2])上单调递增，

那么(y=x-2+cfrac{4}{x-2})在区间([1，2])上单调递减，

(y=-(x-2)-cfrac{4}{x-2})在区间([1，2])上单调递增，(y=-(x-2)-cfrac{4}{x-2}-4)在区间([1，2])上单调递增，

故(g(x)_{min}=g(1)=1)，故(aleq 1)

以上三种情况取交集，得到(ain [-8，1])。

• 角度三 形如(f(x)ge 0(参数min[a，b]))型的不等式确定参数范围

(fbox{例5})已知(ain[-1,1])时不等式(x^2+(a-4)x+4-2a>0)恒成立，则(x)的取值范围是多少？

分析：主辅元换位，把不等式的左端看成关于(a)的一次函数，

记为(f(a)=(x-2)a+x^2-4x+4)，则由(f(a)>0)对于任意的(ain[-1,1])恒成立，

只需(egin{cases}f(-1)>0\\f(1)>0end{cases})即可，

即(egin{cases}x^2-5x+6>0\\x^2-3x+2>0end{cases})，

解得(x<1)或(x>3)，则(x)的取值范围是((-infty,1)cup(3,+infty)).

三、对应练习：

1、(2017新余模拟)不等式(x^2-2x+5ge a^2-3a)对任意实数(x)恒成立，则实数(a)的取值范围是

分析：令(a^2-3a=A)，(x^2-2x+5=f(x))，

则转化为(f(x)ge A)对任意实数恒成立，即需要求解(f(x)_{min});

2、已知不等式(x^2-2x+a>0)对任意实数(xin[2,3])恒成立，则实数(a)的取值范围是___________.

分析：分离参数得到(a>-x^2+2x)对任意实数(xin[2,3])恒成立，

即需要求函数(f(x)=-x^2+2x,xin[2,3])的(f(x)_{max}),

(f(x)=-(x-1)^2+1,xin[2,3]),故(f(x)_{max}=f(2)=0)，则得到(a>0).

3、已知函数(f(x)=-x^2+ax+b^2-b+1(ain R,bin R)),对任意实数(x)都有(f(1-x)=f(1+x))成立，若当(xin[-1,1])时，(f(x)>0)恒成立，则(b)的取值范围是_____________.

分析：先由(f(1-x)=f(1+x))得到，二次函数的对称轴(x=-cfrac{a}{-2}=1)，解得(a=2)，

故题目转化为(-x^2+2x+b^2-b+1>0)对任意(xin [-1,1])恒成立，

用整体法分离参数，

得到(b^2-b>x^2-2x-1)对任意(xin[-1,1])恒成立。

令(g(x)=x^2-2x-1，xin[-1,1])，需要求函数(g(x)_{max})；

(g(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2，xin[-1，1])，

故(g(x))在区间([-1，1])上单调递减，则(g(x)_{max}=g(-1)=2)，

故(b^2-b>2)，解得(b<-1)或(b>2)。