2019高考理科数学（天津卷）

Posted 2021-03-14 lbyifeng

(1 .quad)已知 (ain R) .设函数 (f(x)=egin{cases}x^2-2ax+2a , xleq1 x-aln x , x>1end{cases}quad) ，若关于 (x) 的不等式 (f(x)geq0) 在 ( m R) 上恒成立，则 (a) 的取值范围为 ((qquad))

(A.[0,1]qquadqquadqquad B.[0,2])

(C.[0, m e]qquadqquadqquad D.[1, m e])

解析

设 (f_1(x)=x^2-2ax+2a,f_2(x)=x-aln x) ，对于 (f_1(x)) 有对称轴 (x=a) ，且 (f_1(1)=1,f_1(0)=2a) .

①当 (a<0) 时，存在 (x_0leq1) 使得 (f_1(x_0)<0) ，故不符.

②当 (0leq aleq 1) 时，[f_1(x)=x^2-2ax+2a=(x-a)^2+a(2-a)geq0] [f_2(x)=x-aln xgeq x-a(x-1)=(1-a)x+a>0]符合.

③当 (a>1) 时，(f_1(x)) 在 ((-infty,1]) 上单调递减，则 (f_1(x)geq f_1(1)=1) ，符合 . 求得 [{f_2}^{'}(x)=dfrac{x-a}{x}]故 (f_2(x)) 在 ((1,a)) 上单调递减，在 ((a,+infty)) 上单调递增.依题意有 (f_2(x)_{ m min}=f_2(a)=a-aln ageq0) ，解得 (1<aleq m e) .

综上， (a) 的取值范围是 ([0, m e]) .

(2 .quad)在四边形 (ABCD) 中，(AD//BC,AB=2sqrt{3},AD=5,angle A=30^circ) ，点 (E) 在 (CB) 的延长线上，且 (AE=BE) ，则 (overrightarrow{BD}cdotoverrightarrow{AE}=)________.

解析

如图，建立平面直角坐标系，则 (A(-1,0),E(0,-sqrt{3}),B(2,-sqrt{3}),D(4,0)) . 故[overrightarrow{BD}cdotoverrightarrow{AE}=(2,sqrt{3})cdot(1,-sqrt{3})=-1]