2018四川高考文科21题

Posted 2020-11-12 狮子山上学数学

\(a\geqslant 1\)时，证明:\(\dfrac{ax^2+x-1}{\text{e}^x}+\text{e}\geqslant 0\)

方法（一）(切线放缩法)证明:原不等式等价于\(ax^2+x-1+\text{e}^{x+1}\geqslant 0\),

\(ax^2\geqslant x^2\) and \(\text{e}^{x+1}\geqslant (x+1)+1\)(这里需要证明一下)

原不等式等价于证明\(ax^2+x-1+\text{e}^{x+1}\geqslant x^2+2x+1=(x+1)^2\geqslant 0\)

方法（二）(不分离)令\(f(x)=\dfrac{ax^2+x-1}{\text{e}^x}+\text{e}\Rightarrow f'(x)=\dfrac{-(x-2)(ax+1)}{\text{e}^x}\)

\(\Rightarrow f(x)\)在\((-\infty,-\dfrac{1}{a}\)上单减，在\((-\dfrac{1}{a},2)\)上单增，在\((2,+\infty)\)上单减，且当\(x\rightarrow +\infty\)时\(f(x)>0\) and \(f(x)\rightarrow 0\)

因此只需\(f(-\dfrac{1}{a})\geqslant 0\)

而\(f(-\dfrac{1}{a})=\cdots=-\text{e}^{\frac{1}{a}}+\text{e}\geqslant 0\)

方法（三）(半分离)

方法（四）(全分离)

方法（五）方法不断完善中.......