2018年江苏高考数学填空题14的一般思路

Posted 2020-11-20 shukiang

2018江苏高考数学在一片简单、计算量大的喧闹声中落下帷幕。历年来，“数学帝”、“难”、“创新”、“数列”早已给江苏高考数学打上了固有标签，考前考后都受到无数江苏非江苏考生的关注，成为了难易评判的一个衡量标准. 已知集合(A={x|x=2n-1,nin N^ast},) (B={x|x=2^n,)(nin N^ast}.) 将(Acup B)的所有元素从小到大排列构成一个数列({a_n}.) 记(S_n)为数列({a_n})的前(n)项和,则使得(S_n>12a_{n+1}) 成立的(n)的最小值为____.

此题作为小题来讲，最优解法是列举法：
$S_{26}=dfrac{21(1+41)}{2}+dfrac{2(1-2^5)}{1-2}=503, $ $a_{27}=43,12a_{27}=516, $不符
(S_{27}=S_{26}+a_{27}=503+43=546,)
$a_{28}=45,12a_{28}=540, $符合. $ hereforemin n=27. $

那么问题来了，怎么知道要检查26和27呢，或者说你是从第一项开始检查，检查到26和27才得到答案？这样的过程在高考中是不是浪费时间呢？现在，咱们抛开高考因素来看看正常情况下怎么来解答这题. 首先按照下面的列表形式排列(Acup B)中的元素：

[ egin{matrix} i=1&&1&&&&&&& \ i=2&2&3&&&&&&& i=3&4&5&7&&&&&& i=4&8&9&11&13&15&&&& i=5&16&17&19&21&23&25&27&29&31 i=6&32&33&35&37&39&41&43&45&cdots end{matrix} ]

其中(i) 表示行数，每行的第一列数是集合(B) 中的数， 用(S(i)) 表示前(i) 行元素的总和.

先说说具体思路：
根据(S_n>12a_{n+1}iff S_{n+1}>13a_{n+1}) 计算每一行尾数作为(a_{n+1}) 是不是合乎要求.
如果不满足要求，转入下一行类似计算，如果满足要求，再计算当前行至少哪个位置上的数满足要求.
依次计算结果就是
[ egin{matrix} &S(i)&a&S(i)-13a\ i=1&1&1&-\ i=2&6&3&-\ i=3&22&7&-\ i=4&68&15&-\ i=5&286&31&-\ i=6&1086&63&+end{matrix} ]
所以要求的(a_{n+1}) 在第6行.
下面再确定是哪个数,计算所在整个数列的项数就可以了.

由于集合(B)中元素用的比较少，可以先只考虑(A)集合 $S_n=n^2>12(2n+1),n>24.5, $
于是在集合(Acup B) 中 (a_{25}=39)附近来求解. 这样也可以降低计算量.

如果题目中的12数字改大点，计算量会增加不少，下面我们按照计算题的模式来求解，以便于推广.

不难看出 (S(i)=2+cdots+2^{i-1}+1+3+cdots+(2^i-1)) (=dfrac{2-2^i}{1-2}+(2^{i-1})^2=2^i-2+2^{2i-2})
算一下(a_{n+1}) 至少在哪一行，
(S(i)) 与 (i)行尾数即(2^i-1) 比较， 即 使得 (2^i-2+2^{2i-2}>13(2^i-1))，
解出(2^i>47,) 因此(a_{n+1}) 必定在第 (i=6)行.
下面再算(a_{n+1}) 在第6行的第几个位置.
前5行的和为(S(5)=2^5-2+2^{2 imes5-2}=286,)
假设(a_{n+1}) 是第6行第(j) 个数,
[ egin{cases} 32+(2j-3),&j eq1\ 32,&j=1end{cases} ]

当$j=1 $ 时$286+32-13 imes32=-98<0 $
当 $j eq1 $时，$286+32 j+1+3+cdots+2j-3 $
(=286+32j+(j-1)^2>13(32+(2j-3)))
解出(j>7.69) ，从而 (j=8.)即 (a_{n+1}=45.)
再算出45位于整个数列的项数，前5行共 有$(5-1)+2^{5-1}=20 $ 个数，
所以 (a_{28}=45, n=27.)

如果将题目要求改成(S_n>26a_{n+1}) ,
按照上述方法,可以解出要求的 (n=57.)
$S_{n}>26a_{n+1}iff S_{n+1}>27a_{n+1} $,
根据(2^i-2+2^{2i-2}>27(2^i-1)) 求出(2^i>105,i=7)
所以(a_{n+1})位于第7行,
前6行的和为(S(6)=2^6-2+2^{2 imes6-2}=1086,)
假设(a_{n+1})位于第7行第(j)个位置,
(1086+64j+(j-1)^2>27(64+(2j-3),)
解出 (j>20),取(j=21,) 前6行共有((6-1)+2^{6-1}=37)个数，
所以(S_{58}>27a_{58},n=57)
验证:(S_{56}<27a_{56},S_{57}=27a_{57},S_{58}>27a_{58}.)