数字信号处理线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( LTI 系统单位脉冲响应 | 卷积 | 卷积推导过程 )

Posted 2022-02-26 韩曙亮

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• 一、LTI 系统单位脉冲响应
• 二、卷积

一、LTI 系统单位脉冲响应

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线性时不变系统 , 简称 " LTI " , 英文全称 Linear time-invariant ;

系统的 " 时域特性 " 为 $h(n)=T[\delta (n)]$ ;

在 " 模拟系统 " 中 , 当系统输入为 $\delta (t)$ 时 , 系统的 " 零状态响应 " 是 $h(t)$ ;

在 " 离散系统 " 中 , 当系统输入为 $\delta (n)$ 时 , 系统的 " 零状态响应 " 是 $h(n)$ , 零状态是 $y(-1)=0$ ;

定义了系统的 " 单位脉冲响应 " 之后 , 系统的 " 输入 " 和 " 输出 " 之间 , 存在着 " 卷积 " 关系 ;

二、卷积

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对于 线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 来说 ,

假设 $x(n)$ 是 LTI 系统的 " 输入序列 " , $y(n)$ 是 " 输出序列 " ,

则有 :

$$y(n)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x(m)h(n-m)=x(n)\ast h(n)$$

线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 的

" 输出序列 "

等于

" 输入序列 " 与 " 系统单位脉冲响应 " 的 线性卷积 ;

推导过程如下 :

任何一个 输入序列 $x(n)$ , 都可以由 单位脉冲序列 的 加权和 表示 :

$$x(n)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x(m)\delta (n-m)$$

与上面的 输入序列 $x(n)$ 相对应的 输出序列 $y(n)$ 为 :

$$y(n)=T[x(n)]=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x(m)T[\delta (n-m)]$$

上述式子中使用的 系统 $T[\delta (n-m)]$ 是 " 线性 " 系统 ,

当该系统 $T$ 的输入为 $\delta (n)$ 时 , 输出为 $h(n)$ ;

( 根据 " 时不变 " 系统的性质 , 系统特性不随着时间变化而变化 )

当该系统 $T$ 的输入为 $\delta (n-m)$ 时 , 输出为 $h(n-m)$ ;

( 根据 " 时不变 " 系统的性质 , 系统特性不随着时间变化而变化 )

$$\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x(m)h(n-m)=x(n)\ast h(n)$$