Leetcode之动态规划（DP）专题-1025. 除数博弈（Divisor Game）

Posted 2020-11-12 QYG

Leetcode之动态规划（DP）专题-1025. 除数博弈（Divisor Game）

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爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

• 选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
• 用 N - x 替换黑板上的数字 N 。

如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

 

示例 1：

输入：2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。

示例 2：

输入：3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

 

提示：

1. 1 <= N <= 1000

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按照题意，我们利用DP（动态规划）来求解这个问题。

先说两句题外话，这个问题是一个数学问题，只要N是偶数，爱丽丝必胜。

选数，要满足这个条件：

• 选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。

偶数先手必胜。

因为先手为偶数的话，先手只需要让自己每步都保持偶数，那么他可以通过让对手得到的数为奇数，比如偶数-1就是奇数了，对手拿到奇数，那么能整除的只有奇数，奇数-奇数又回到了偶数，最后先手一定会得到最小的偶数2，然后-1让对手得到1，对手无解，必胜。

 

回到主题，我们用DP来求解这个问题，首先new一个长度为N+1的数组，dp[i]表示i这个数是否可以赢，如果为true则N=i可以赢，为false则输。

N=1，爱丽丝就肯定会输，所以我们首先让dp[1]=false;

然后我们从i=2开始，一直遍历到i=N

按照题意，我们让j每次从1到i-1的区间里取数，且需要满足

• 选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。

这个条件，如果发现dp[j]=false，那么dp[i]就一定会赢。

class Solution {
    public boolean divisorGame(int N) {
        boolean[] dp = new boolean[N + 1];
        dp[1] = false;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                if(!dp[i-j] && i%j==0){
                    dp[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }
        return dp[N];
    }
}