博弈论笔记：动态博弈

Posted 2021-11-07 UQI-LIUWJ

1 导言

       行动有先后顺序，不同的参与人在不同时点行动，先行动者的选择影响后行动者的选择空间，后行动者可以观察到先行动者做了什么选择。

       因此，为了做出最优的行动选择，每个参与人都必须这样思考问题：如果我如此选择，对方将如何应对？如果我是他，我将会如何行动？ 给定他的应对，什么是我的最优选择？

 

静态博弈：所有参与人同时行动

动态博弈：参与人行动有先后顺序，后行动者在先行动者做出决策之后在做出决定（eg，下棋

常用博弈树表示动态博弈

2 动态博弈

       动态博弈中，事前最优的战略可能不是事后最优。（A可以按照B声明的来判断选择，也可以不按照；那么B就可以因地制宜地改变。——相机行动方案,contingent action plan）

以上图为例,老师的决策是给学生打分打及格or不及格；学生事先声明，如果我及格了，我是选择A（accept）战略还是F（fighting）战略。（这个声明老师也是能看得到的）

对于上面这个表达式，我们有三个纳什均衡一个是【及格，(A,F)】，一个是【不及格，(F,A)】，另一个是【不及格，(A,A)】。

我们先看第一个纳什均衡。学生申明我采取的是(A,F)战略，老师为了不得到-10的代价，会选择给学生及格。但是退一步讲，即便老师给了不及格，学生也不会选择F战略，因为此时学生选了F战略的话，虽然老师是-10的代价了，可自己也是-10的代价，损失太大。因此，如果学生是理性的，那么即使老师给了不及格，学生也不会选择F战略。那么老师就不会受其威胁。因此,(A,F)是一个不可置信威胁。

我们再看第二个纳什均衡。学生申明我采取的是(F,A)战略，老师为了不得到-10的代价，选择了给学生不及格。但退一步讲，即使老师给了及格，学生也不会选择F战略（和(A,F)战略不可置信是一样的推导方式），因此(F,A)也不是一个可置信威胁。

最后一个纳什均衡，分析下来是可以达到的，(A,A)是一个可置信威胁。

 

——》动态均衡就是要排除一些不可置信的威胁。

2.1 精炼纳什均衡 perfect NE

        不包含不可置信的行动的战略所组成的纳什均 衡被称为“精炼纳什均衡”。

        也就是说，不论 过去发生了什么，构成精炼纳什均衡的战略， 其所规定的行动在每一个决策点上都是最优的。 所以，又称为“序惯均衡”(sequential equilibrium);

        精炼纳什均衡首先必须是“纳什均衡”，但并非所有纳什均 衡都是合理的；只有其战略不包含不可置信行动的纳什均衡才是合理的。

         不可置信威胁的根源是事前最优与事后最优不同，导致许多帕累托效率无法实现

2.2 子博弈

 

        由原博弈中某个决策点（信息集）开始的部分构成一个子博弈。

精炼纳什均衡：

（ 1 ）在原博弈是一个纳什均衡；

（2 ）在每一个子博弈上都是纳什均衡。

 

2.3 逆向归纳法 backward induction

       在有限博弈中，我们可以用逆向归纳法求解精炼纳什均衡：从最后一个决策点开始，找出该子博弈的纳什均衡；然后再倒回到倒数第二个决策点，找出决策者的最优决策（假定最后一个决策者的决策是最有的；如此一直到初始决策点， 所有子博弈上的最优选择就是精炼纳什 均衡。又称“rollback”。

         精炼纳什均衡下所经过的决策点和最优选择构成的路径，称为均衡路径（equilibrium path);

         其他的路径是非均衡路径（ off-equilibrium path);

 

以上图为例，我们逆向归纳。先看最后一个需要博弈的对象1，他此时有两个选择，U'和D'。如果选U'的话，可以得到5；选择D'的话，可以得到4。5＞4，那么(4,2)这一选择就被淘汰了。然后看2，同理可以把(5,0)淘汰（因为1＞0）；最后又回到1，他会选择U（因为2＞0）。

所以逆向归纳法的结果为(2,0)。

 

2.4 理性共识

       逆向归纳的过程实际上就是重复剔除劣战略的过程，其前提是博弈规则和理性

共识：每个人是理性的，每个人知道每 个人是理性的，如此等等。

         因此，精炼纳什均衡的合理性取决于理性共识的合理性。

3 承诺

        承诺是将不可置信的威胁变成可置信的威胁的行动：威胁不仅是事前最优的，也是事后最优

的。

        承诺意味着限制自己的自由：选择少反而对自己好。但承诺也是有成本的。（eg，项羽破釜沉舟）

        我们重新审视2.3的例子。如果1承诺不选择U'的话：此时需要被剔除的战略我们用绿色的×来表示，黑色的×表示原来被剔除的战略。此时，最后逆向归纳法的结论为(4,2)。

3.1 承诺举例

3.1.1 婚姻

        ->婚姻中的承诺：彩礼、昂贵的婚礼可以理解为一种对婚姻的承诺。

 

        在这个模型下，如果没有承诺的话，男方可能就会选择“抛弃”，女方拒绝；有了承诺之后，女方接受，男方忠诚。

3.1.2 公债

D表示最大公债，r表示公债的利率，P表示政府违约的时候受到的惩罚

——>政府履约的条件：D(1+r)<=P（即违约收到的惩罚大于我吞掉公债的获得）

也就是说，政府可发行的最大公债为P/(1+r)

老百姓对政府的约束能力决定了P

——>有限（民主）政府比专制政府可以发行的公债更多

3.1.3 非升即走的大学制度

老制度下，精炼纳什均衡是不努力，不提升。

新制度下，精炼纳什均衡是努力，提升。